泽尔尼克多项式

泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式，分为奇、偶两类

奇多项式：

Z_{n}^{m} (ρ, φ) = R_{n}^{m} (ρ) \cos (m φ)

偶多项式

Z_{n}^{- m} (ρ, φ) = R_{n}^{m} (ρ) \sin (m φ),

其中 $n \geq m$ 为非负整数，

 $0 \leq ρ \leq 1$  为径向距离

如果 n-m为偶数则

R_{n}^{m} (ρ) = \sum_{k = 0}^{\frac{n - m}{2}} \frac{(- 1)^{k} (n - k)!}{k! (\frac{n + m}{2} - k)! (\frac{n - m}{2} - k)!} ρ^{n - 2 k}

如果n-m为奇数，则

R_{n}^{m} (ρ) = 0

泽尔尼克多项式的超几何函数表示

泽尔尼克多项式也可以表示为超几何函数

\begin{matrix} R_{n}^{m} (ρ) & = (\binom{n}{\frac{n + m}{2}}) ρ^{n}_{2} F_{1} (- \frac{n + m}{2}, - \frac{n - m}{2}; - n; ρ^{- 2}) \\ = (- 1)^{\frac{n + m}{2}} (\binom{\frac{n + m}{2}}{\frac{n - m}{2}}) ρ^{m}_{2} F_{1} (1 + n, 1 - \frac{n - m}{2}; 1 + \frac{n + m}{2}; ρ^{2}) \end{matrix}

Noll 用一个J数字表示 [n,m]:如下表

n,m Template:!! 0,0Template:!!1,1Template:!! 1,−1 Template:!! 2,0Template:!! 2,−2 Template:!! 2,2Template:!!3,−1Template:!! 3,1 Template:!! 3,−3 Template:!! 3,3
j	1Template:!!2Template:!! 3 Template:!! 4 Template:!! 5 Template:!! 6 Template:!! 7 Template:!!8 Template:!! 9Template:!! 10
n,m Template:!!4,0 Template:!!4,2 Template:!!4,−2Template:!!4,4Template:!!4,−4Template:!!5,1Template:!!5,−1Template:!!5,3 Template:!!5,−3Template:!!5,5
j Template:!!11 Template:!!12 Template:!!13 Template:!!14Template:!!15Template:!!16Template:!! 17 Template:!! 18 Template:!!19 Template:!!20

由于

I_{j} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} Z_{j}^{2} ρ d ρ d θ = k_{j} * π .

其中 $k_{j}$ 因j而异，

k_{1} = 1

k_{2} = \frac{1}{4}

k_{3} = \frac{1}{4}

k_{4} = \frac{1}{3}

k_{5} = \frac{1}{6}

必须先归一化

令 $Z_{j} = Z_{j} / \sqrt{(} k_{j})$

使得

I_{j} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} Z_{j}^{2} ρ d ρ d θ = π .

归一化泽尔尼克多项式以Noll序列排列如下：

Noll index ( $j$ )	Radial degree ( $n$ )	Azimuthal degree ( $m$ )	$Z_{j}$	Classical name
1	0	0	$1$	Piston
2	1	1	$2 ρ \cos θ$	Tip (lateral position) (X-Tilt)
3	1	−1	$2 ρ \sin θ$	Tilt (lateral position) (Y-Tilt)
4	2	0	$\sqrt{3} (2 ρ^{2} - 1)$	Defocus (longitudinal position)
5	2	−2	$\sqrt{6} ρ^{2} \sin 2 θ$	Astigmatism
6	2	2	$\sqrt{6} ρ^{2} \cos 2 θ$	Astigmatism
7	3	−1	$\sqrt{8} (3 ρ^{3} - 2 ρ) \sin θ$	Coma
8	3	1	$\sqrt{8} (3 ρ^{3} - 2 ρ) \cos θ$	Coma
9	3	−3	$\sqrt{8} ρ^{3} \sin 3 θ$	Trefoil
10	3	3	$\sqrt{8} ρ^{3} \cos 3 θ$	Trefoil
11	4	0	$\sqrt{5} (6 ρ^{4} - 6 ρ^{2} + 1)$	Third-order spherical
12	4	2	$\sqrt{10} (4 ρ^{4} - 3 ρ^{2}) \cos 2 θ$	—
13	4	−2	$\sqrt{10} (4 ρ^{4} - 3 ρ^{2}) \sin 2 θ$	—
14	4	4	$\sqrt{10} ρ^{4} \cos 4 θ$	—
15	4	−4	$\sqrt{10} ρ^{4} \sin 4 θ$	—

径向正交性: $\int_{0}^{1} ρ \sqrt{2 n + 2} R_{n}^{m} (ρ) \sqrt{2 n^{'} + 2} R_{n^{'}}^{m} (ρ) d ρ = δ_{n, n^{'}} .$
角度正交性: $\int_{0}^{2 π} \cos (m φ) \cos (m^{'} φ) d φ = ϵ_{m} π δ_{| m |, | m^{'} |},$; $\int_{0}^{2 π} \sin (m φ) \sin (m^{'} φ) d φ = (- 1)^{m + m^{'}} π δ_{| m |, | m^{'} |}; m \neq 0,$; $\int_{0}^{2 π} \cos (m φ) \sin (m^{'} φ) d φ = 0,$

其中 $ϵ_{m}$ 称为Neumann因子，其数值为 2 如果满足 $m = 0$ ，数值为 1，如果 $m \neq 0$ .

径向与角度正交性: $\int Z_{n}^{m} (ρ, φ) Z_{n^{'}}^{m^{'}} (ρ, φ) d^{2} r = \frac{ϵ_{m} π}{2 n + 2} δ_{n, n^{'}} δ_{m, m^{'}},$

其中 $d^{2} r = ρ d ρ d φ$ 为雅可比矩阵

$n - m$ 与 $n^{'} - m^{'}$ 都是偶数.