道森积分

Dawson integral

道森积分（Dawson integral)由下式定义

$F(x)=e^{-x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t^2}dt$,

拐点

道森积分的拐点为

-.92413887300459176701

+.92413887300459176701

对称性

Anti symmetric Dawson Integral

道森积分是反对称函数

$F(-x)=-F(x)$

微商

Derivative of Dawson Integral

道森积分的微商是

$\frac{dF(x)}{dx}=1-2*x*F(x)$

微分方程

$F^{\prime }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}2x\cos (2xy)dx$

$F^{\prime }(y)+2yF(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2e^{-x^2}[x\cos (2xy)+y\sin (2xy)]dx=-e^{-x^2}\cos (2xy){|}_0^{\mathrm{\infty }}=1$

而且显然$F(0)=0$, 因此$F(y)$是微分方程

$f^{\prime }(y)+2yf(y)=1$

在初始条件$f(0)=0$下的解，根据柯西-利普希茨定理解是唯一的.

其他表达式

$F\left(y\right)=\underset{0}{\overset{y}{\int }}{e}^{t^2-y^2}\text{d}t$

证明: 只要证明也满足它的微分方程即可

对$y$求导，根据积分符号内取微分有

$F^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}{e}^{-y^2}\underset{0}{\overset{y}{\int }}{e}^{t^2}dt=-2y{e}^{-y^2}\underset{0}{\overset{y}{\int }}{e}^{t^2}dt+1$

参考文献

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