朗道分布

在概率论中，朗道分布（Template:Lang-en）是因物理学家列夫·朗道而得名的一种概率分布。由于它所具有的「长尾」现象，这种分布的各阶矩（如数学期望与方差）都因发散而无法定义。这种分布是稳定分布的一个特例。

定义

标准朗道分布的概率密度函数由以下复积分式表示，

$p(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{s\log s+xs}ds,$

其中c为任意正实数，log 为自然对数。可以证明，上式结果与c的取值无关。在复平面上做围道积分，可得到便于计算的实积分式，

$p(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t\log t-xt}\sin (\pi t)dt.$

上式即 $\mu =0,c=\pi /2$ 的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族，就可以获得完整的朗道分布族

$p(x;\mu ,c)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ct}\cos ((x-\mu )t+\frac{2ct}{\pi }\log t)dt.$

其特徵函數可表示如下，

$\phi (t;\mu ,c)=\exp (i\mu t-c|t|-\frac{2ict}{\pi }\log |t|),$

两个实参数的取值范围 $\mu \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$，$c\in (0,\mathrm{\infty })$，调整 $\mu ,c$ 分别实现朗道分布的平移和缩放。

相关性质

朗道分布在 $\mu =0,c=1$ 的近似

从特征函数出发可以推导出：

• 平移：若 $X\sim \text{Landau}(\mu ,c)$ 则 $X+m\sim \text{Landau}(\mu +m,c)$。
• 缩放：若 $X\sim \text{Landau}(\mu ,c)$ 则 $aX\sim \text{Landau}(a\mu -2ac/\pi \cdot \log a,ac)$。
• 可加性：若 $X\sim \text{Landau}({\mu }_1,c_1),Y\sim \text{Landau}({\mu }_2,c_2)$ 则 $X+Y\sim \text{Landau}({\mu }_1+{\mu }_2,c_1+c_2)$。

以上三条性质保证了朗道分布是一种稳定分布，它的稳定参数和偏度参数 $\alpha =\beta =1$。

当 $\mu =0,c=1$ 时，朗道分布可以近似表示为

$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \{-\frac{1}{2}(x+e^{-x})\}.$