切线法

切线法是利用切线构造不等式的方法，有时会结合延森不等式。

切线法是属于试探性的方法，但使用范围比延森不等式更广，例如半凹半凸的函数$x^2+2\sqrt{x}$不能使用延森不等式，但能使用切线法。

常规方法

对于$x_1,x_2,...,x_n\in D,x_1+x_2+...+x_n=k$，D为给定区间，k为常数，求证$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\le (\ge )C$

观察得取等条件为$x_1=x_2=...=x_n=\frac{k}{n}$时，找出$f(x)$在$x=\frac{k}{n}$处的切线函数$px+q$（假设f可导），尝试证明局部不等式$f(x)\le (\ge )px+q$。

例子

已知$a,b,c\ge 0,a+b+c=1$，求证$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le \sqrt{21}$

猜得$a=b=c=\frac{1}{3}$时取等，构造切线使$\sqrt{4a+1}\le pa+q$让$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le \sqrt{21}$成立。

$\sqrt{4a+1}=\sqrt{\frac{7}{3}}$

$(\sqrt{4a+1}{)}^{\prime }=\frac{2}{\sqrt{4a+1}}=2\sqrt{\frac{3}{7}}$

所求切线为$2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}$

$(2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}{)}^2-(4a+1)=\frac{4}{21}(3a-1{)}^2\ge 0$证得$\sqrt{4a+1}\le 2\sqrt{\frac{3}{7}}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{\frac{7}{3}}$

$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le 2\sqrt{\frac{3}{7}}(a+b+c-1)+3\sqrt{\frac{7}{3}}=\sqrt{21}$