纽曼-尚克斯-威廉士素数

Template:NoteTA 素数是纽曼-尚克斯-威廉士素数（Newman-Shanks-Williams prime，簡寫為NSW素数）若且唯若它能寫成以下的形式：

S_{2 m + 1} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2 m + 1} + (1 - \sqrt{2})^{2 m + 1}}{2}

1981年M. Newman、D. Shanks和H. C. Williams在研究有限集合時，率先描述了NSW素数。

首幾個NSW素数為7, 41, 239, 9369319, 63018038201, ...（OEIS:A088165），對應指数3, 5, 7, 19, 29, ... （OEIS:A005850）

上式中的 $S$ 可用遞歸的方法定義，雖然得出來的未必是素数：

S_{0} = 1

S_{1} = 1

S_{n} = 2 S_{n - 1} + S_{n - 2}

對於所有

n \geq 2

這個數列的首幾項為1, 1, 3, 7, 17, 41, 99（OEIS:A001333）。這些數亦出現在以連分數表示的 $\sqrt{2}$ 。

進階參閱

M. Newman, D. Shanks and H. C. Williams, Simple groups of square order and an interesting sequence of primes, Acta. Arith., 38:2 (1980/81) 129-140.