Lax 对

Template:Cleanup Lax 对定义。一个非线性偏微分方程

$F(x,t,u,\dots )=0$

的Lax 对 是一对线性微分算子

$L=L(u,\lambda )$

$M=M(u,\lambda )$

$[L,M]=LM-ML$ 是交换子。

如果 $F(x,t,u,\dots )=0$可以表示为 Lax 方程：

$L_t+[L,M]=0$ , 且 $L\varphi =\lambda (t)\varphi$ , 则 ${\lambda }_t=0$ , 并且 $\varphi$ 满足

${\varphi }_t=M\varphi$

高维Lax对

1972年V.E.Zakharov,A.B.Shabat,将Lax对推广到高维

对于两个 线性方程 ${\varphi }_x=A\varphi ,{\varphi }_t=B\varphi$

其中A、B是 n x n 维矩阵; 或者更一般地，A和B可以是李代数g的元素; g可以是无限维的，参见 例如 及其中的参考文献 。

定义 $A_t-B_x+[A,B]=0$ 为两个 线性方程 ${\varphi }_x=A\varphi ,{\varphi }_t=B\varphi$的相容条件。

实例

KdV 方程 的Lax对为

$L=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+u$

$M=-4\frac{{\partial }^3}{\partial x^3}+6u\frac{\partial }{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial x}$

非线性薛定谔方程

$𝐀=i\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$+$i\left[\begin{array}{cc}0& q\\ r& 0\end{array}\right]$

$𝐁=2i{\lambda }^2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$+$2i\lambda \left[\begin{array}{cc}0& Q\\ R& 0\end{array}\right]$+ $\left[\begin{array}{cc}0& q_x\\ -r_x& 0\end{array}\right]$-$i\left[\begin{array}{cc}rq& 0\\ 0& -rq\end{array}\right]$

sine-Gordon方程

$𝐀=i\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$+$i\left[\begin{array}{cc}0& q\\ r& 0\end{array}\right]$

$𝐁=\frac{1}{4i\lambda }\left[\begin{array}{cc}\cos u& -i\sin u\\ i\sin u& -\cos u\end{array}\right]$

Sinh-Gordon方程

$𝐀=i\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$+$i\left[\begin{array}{cc}0& q\\ r& 0\end{array}\right]$

$𝐁=\frac{1}{4i\lambda }\left[\begin{array}{cc}coshu& -isinhu\\ -isinhu& -coshu\end{array}\right]$

KdV 方程

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}i\lambda & 1\\ u& -i\lambda \end{array}\right]$

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}4i{\lambda }^3+2i\lambda u-u_x& 4{\lambda }^2+2u\\ 4{\lambda }^{2}u+2i\lambda u_x+2u^2-u_{xx}+2u^3& 4i{\lambda }^3+2i\lambda u^2\end{array}\right]$

mKdV方程

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}-i\lambda & u\\ u& i\lambda \end{array}\right]$

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}-4i{\lambda }^3-2i\lambda u^2& 4{\lambda }^{2}u+2i\lambda u_x-u_{xx}+2u^3\\ 4{\lambda }^{2}u-2i\lambda u_x-u_{xx}+2u^2& 4i{\lambda }^3+2i\lambda u^2\end{array}\right]$

切触Lax对

参考文献

• Inna Shingareva, Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, Springer Wien New York