定比分点公式

定比分点公式是平面几何学的基本公式。若D点在B点与C点之间，向量AD即可表达成向量AB与向量AC。

$\vec{A D} = \frac{| \vec{C D} |}{| \vec{B C} |} \vec{A B} + \frac{| \vec{B D} |}{| \vec{B C} |} \vec{A C}$

当A位于原点，即AD、AB、AC为位置向量，利用公式可由B点、C点得出D点的坐标。

证明

$\vec{B D} = \frac{| \vec{B D} |}{| \vec{B C} |} \vec{B C} = \frac{| \vec{B D} |}{| \vec{B C} |} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$\vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \frac{| \vec{C D} |}{| \vec{B C} |} \vec{A B} + \frac{| \vec{B D} |}{| \vec{B C} |} \vec{A C}$

定比分点参数法

设 $\vec{B D} = λ \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} = \frac{\vec{A B} + λ \vec{A C}}{1 + λ}$ ^[1]^[2]

向量回路法

考虑向量AO、AB、AE，有 $\vec{A O} = \frac{| \vec{O E} |}{| \vec{B E} |} \vec{A B} + \frac{| \vec{O B} |}{| \vec{B E} |} \vec{A E}$

$\frac{| \vec{A O} |}{| \vec{A D} |} \vec{A D} = \frac{| \vec{O E} |}{| \vec{B E} |} \vec{A B} + \frac{| \vec{O B} |}{| \vec{B E} |} \cdot \frac{| \vec{A E} |}{| \vec{A C} |} \vec{A C}$

考虑向量AD、AB、AC，又有 $\vec{A D} = \frac{| \vec{C D} |}{| \vec{B C} |} \vec{A B} + \frac{| \vec{B D} |}{| \vec{B C} |} \vec{A C}$

$\frac{| \vec{A O} |}{| \vec{A D} |} \cdot \frac{| \vec{C D} |}{| \vec{B C} |} = \frac{| \vec{O E} |}{| \vec{B E} |}$

$\frac{| \vec{A O} |}{| \vec{A D} |} \cdot \frac{| \vec{B D} |}{| \vec{B C} |} = \frac{| \vec{O B} |}{| \vec{B E} |} \cdot \frac{| \vec{A E} |}{| \vec{A C} |}$

$\frac{| \vec{A O} |}{| \vec{A D} |} = \frac{| \vec{O E} |}{| \vec{B E} |} + \frac{| \vec{O B} |}{| \vec{B E} |} \cdot \frac{| \vec{A E} |}{| \vec{A C} |}$ ^[3]

参考资料

Template:Reflist

[1] Template:Cite journal

[2] Template:Cite journal

[3] Template:Cite book

[1]

[2]

[3]

定比分点公式

目录

证明

定比分点参数法

向量回路法

参考资料

导航菜单

定比分点公式

证明

定比分点参数法

向量回路法

参考资料

导航菜单

搜索