拉格朗日恒等式

在代数中，以约瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是：

$\begin{array}{cc}\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)-(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{)}^2& =\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2\\ & (=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,j\ne i}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2),\end{array}$

应用于任意两个实数或复数集合（或者更一般地，一个交换环的元素）{a₁, a₂, . . ., a_n} and {b₁, b₂, . . ., b_n}。这个恒等式是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的推广，同时也是Binet–Cauchy恒等式的特殊形式。

用一个更为简洁的向量形式表示，Lagrange恒等式就是：

$\Vert 𝐚{\Vert }^2\Vert 𝐛{\Vert }^2-(𝐚\mathbf{\cdot }𝐛{)}^2=\sum _{1\le i<j\le n}{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2,$

其中a和b是由实数构成的n维向量。向复数的引申需要将点积理解为内积或者Hermitian点积。准确的说，对于复数，Lagrange恒等式可以写成以下形式：

$(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^2\left)\right(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^2)-|\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{|}^2=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n|a_i{\bar{b}}_j-a_j{\bar{b}}_i{|}^2$

用到复数的模

拉格朗日恒等式和外代数

拉格朗日恒等式用楔积可以写成

$(a\cdot a,b\cdot b)-(a\cdot b{)}^2=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b)$。

因此，它可以看作是一个以点积形式给出两个向量楔积的公式，也就是由它们定义的平行四边形，即

$\Vert a\wedge b\Vert =\sqrt{(\Vert a\Vert \Vert b\Vert {)}^2-\Vert a\cdot b{\Vert }^2}$。