牛顿多项式

Template:NoteTA Template:多個問題 牛頓多項式（Template:Lang-en）是數值分析中一種用於插值的多項式，以英格兰數學家暨物理學家牛頓命名。

定義

給定包含$k+1$個數據點的集合$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$。

如果對於$\mathrm{\forall }i,j\in \{0,...,k\},i\ne j$，滿足$x_i\ne x_j$，那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為

$N(x):=\sum _{j=0}^k{a}_j{n}_j(x)$

其中每個$n_j(x)$為牛頓基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為

$n_j(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_i)$

其中$j>0$，並且$n_0(x)\equiv 1$。

係數$a_j:=[y_0,\dots ,y_j]$，而$[y_0,\dots ,y_j]$表示差商。

差商表（高階差商是兩個低一階差商的差商）

	$0$階差商	$1$階差商	$2$階差商	$3$階差商	$\dots$	$k-1$階差商
$x_0$	$f[x_0]$
$x_1$	$f[x_1]$	$f[x_0,x_1]$
$x_2$	$f[x_2]$	$f[x_1,x_2]$	$f[x_0,x_1,x_2]$
$x_3$	$f[x_3]$	$f[x_2,x_3]$	$f[x_1,x_2,x_3]$	$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_k$	$f[x_k]$	$f[x_{k-1},x_k]$	$f[x_{k-2},x_{k-1},x_k]$	$f[x_{k-3},x_{k-2},x_{k-1},x_k]$	$\dots$	$f[x_0,\dots ,x_k]$

因此，牛頓多項式可以寫作：

$N(x)=[y_0]+[y_0,y_1](x-x_0)+\cdots +[y_0,\dots ,y_k](x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})$

参见

• 插值
• 多項式插值
• 拉格朗日插值法