循環連分數

Template:Expand language 循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數：

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{⋱}{⋱ a_{k} + \frac{1}{a_{k + 1} + \frac{⋱}{⋱ a_{k + m - 1} + \frac{1}{a_{k + m} + \frac{1}{a_{k + 1} + \frac{1}{}}}}}}}}

前k+1個部分分母不算，後面的部分分母[a_k+1, a_k+2,…a_k+m]會一直重覆出現。例如 $\sqrt{2}$ 即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{a_i}可以是任何實數或虛數。

1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為二次無理數^[1]。例如 $\sqrt{3} = 1.732 \dots = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots]$ 。

在此條目以下的內容會限制在部份分母為正整數的循環連分數。

純循環連分數以及循環連分數

因為循環連分數的分子都是1，因此可以用以下簡化的方式記錄循環連分數：

\begin{matrix} x & = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{k + m}, a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{k + m}, \dots] \\ = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, \overline{a_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, a_{k + m}}] \end{matrix}

第二行的括線表示循環的部份Template:Sfn。有些教材書會用以下的寫法

\begin{matrix} x & = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}, {\dot{a}}_{k + 1}, a_{k + 2}, \dots, {\dot{a}}_{k + m}] \end{matrix}

循環部份的第一個數字和最後一個數字上方加上點識別Template:Sfn。

若循環連分數中都是循環部份，沒有不循環的第一部份，也就是k = -1, a₀ = a_m，則

x = [\overline{a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m - 1}}],

這樣的循環連分數稱為純循環連分數（purely periodic）。例如黃金比例φ的循環連分數是 $[1; 1, 1, 1, \dots]$ ，就是純循環連分數，而 $\sqrt{2}$ 的循環連分數是 $[1; 2, 2, 2, \dots]$ ，是循環連分數，不是純循環連分數。

循環連分數可以和實數的二次無理數一一對應。其對應關係在Template:Link-en有提到。先考慮以下的純循環連分數

x = [0; \overline{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}}],

此純循環連分數可以寫成

x = \frac{α x + β}{γ x + δ}

其中 $α, β, γ, δ$ 是整數，滿足 $α δ - β γ = 1 .$ 。其確切值可以用以下方式求得

S = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})

表示移位，因此

S^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{matrix})

以下這個類似反射

T \mapsto (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

而 $T^{2} = I$ 。這些矩陣都是Template:Link-en，其乘積仍是單位模矩陣。針對上述的 $x$ ，對應的矩陣如下Template:Sfn

S^{a_{1}} T S^{a_{2}} T \dots T S^{a_{m}} = (\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix})

而

x = [0; \overline{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}}] = \frac{α x + β}{γ x + δ}

是其顯式式。因為所有的矩陣元素都是整數，矩陣也屬於Template:Link-en $S L (2, ℤ) .$ 。

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