凸優化

凸函数最优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的問題。凸最佳化在某種意義上說較一般情形的數學最佳化問題要簡單，譬如在凸最佳化中局部最佳值必定是全局最佳值。凸函數的凸性使得凸分析中的有力工具在最佳化問題中得以應用，如次导数等。

凸最佳化應用於很多學科領域，諸如自動控制系統，信號處理，通訊和網絡，電子電路設計，數據分析和建模，統計學（最佳化設計），以及金融。在近來運算能力提高和最佳化理論發展的背景下，一般的凸最佳化已經接近簡單的線性規劃一樣直捷易行。許多最佳化問題都可以轉化成凸最佳化（凸最小化）問題。

定義

令$𝒳\subset {ℝ}^n$為一凸集，且$f:𝒳\to ℝ$為一凸函數。凸最佳化就是要找出一點$x^{\ast }\in 𝒳$，使得每一$x\in 𝒳$滿足$f(x^{\ast })\le f(x)$。在最佳化理論中，$𝒳$稱為可行域，$f$稱為目標函數，$x^{\ast }$稱為全局最優值，或全域最佳解。

或者可以表示為下面的標準型：

$\begin{array}{cccc}& \min & & f(x)\\ & \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}& & g_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m\end{array}$

其中 $f,g_1\dots g_m:{ℝ}^n\to ℝ$ 為凸函數。

舉例

以下問題都是凸最佳化問題，或可以通過改變變量而轉化為凸最佳化問題：

• 最小二乘
• 線性規劃
• 線性約束的二次規劃
• 半正定规划
• 二阶锥规划

方法

凸最佳化（凸最小化）問題可以用以下幾種方法求解：

• 捆集法
• 次梯度法
• 內點法

參考資料

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