弹性力学

Template:NoteTA 弹性力学 (Theory of Elasticity)，也称弹性理论，是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移问题。

基本概念与基本假设

基本概念

Template:See also 作用于物体的外力可分为体积力（body force）和表面力 （surface force）。体积力是作用在物体内部体积上的外力，简称体力，例如重力、惯性力、电磁力等。表面力是作用在物体表面上的外力，简称面力，例如流体压力、接触力等。

基本假设

1. 连续性：假定物体是连续的，即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，并且在整个变形过程中保持其连续性。
2. 完全弹性：假定物体是完全弹性的，即物体在引起形变的外力去除后能完全恢复其初始的形状和尺寸，物体的形变与其所受外力具有一一对应的函数关系。
3. 均匀性：假定物体是均匀的，即整个物体的所有部分具有相同的弹性性质。
4. 各向同性：既定物体是各向同性的，即物体的弹性性质在所有各个方向都相同，与考察方向无关。
5. 小变形：假定物体受力后的位移和形变是微小的，整个物体所有个点的位移都远小于物体原来的尺寸，且应变与转角都远小于1。

对符合上述前4项假定的物体，称为理想弹性体。

基本方程

平衡方程

應力形式的靜力平衡方程式

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}+X=0\\ \frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}+Y=0\\ \frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_z}{\partial z}+Z=0\\ \end{array}$

张量形式

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+𝒇=0$

几何方程

應變與位移關係式

$\begin{array}{c}{ϵ}_x=\frac{\partial u}{\partial x},{\gamma }_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})\\ {ϵ}_y=\frac{\partial v}{\partial y},{\gamma }_{zx}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})\\ {ϵ}_z=\frac{\partial w}{\partial z},{\gamma }_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})\\ \end{array}$

张量形式(向量)

$\mathit{ϵ}=\frac{1}{2}(𝒖\mathrm{\nabla }+\mathrm{\nabla }𝒖)$

等向性材料的應力與應變關係式(虎克定律)（本构方程）

Template:See also $\begin{array}{c}{ϵ}_x=\frac{1}{E}[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)],{\gamma }_{yz}=\frac{1}{G}{\tau }_{yz}\\ {ϵ}_y=\frac{1}{E}[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_z+{\sigma }_x)],{\gamma }_{zx}=\frac{1}{G}{\tau }_{zx}\\ {ϵ}_z=\frac{1}{E}[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)],{\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}\\ \end{array}$

平面问题

平面應力問題

${\sigma }_z={\tau }_{zx}={\tau }_{zy}=0$

平面應變問題

${ϵ}_z={\gamma }_{zx}={\gamma }_{zy}=0$

参见

• 胡克定律
• 材料力学
• 结构力学
• 有限单元法