渐近分析

渐近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在数学分析中是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下：

• 在计算机科学中，算法分析考虑给定算法在输入非常大的数据集时候的性能。
• 当實體系統的规模变得非常大的时候，分析它的行为。

最简单的例子如下：考虑一个函数$f(n)$，我们需要了解当$n$变得非常大的时候$f(n)$的性质。

令$f(n)=n^2+3n$，在$n$特别大的时候，第二项$3n$比起第一项$n^2$要小很多。

于是对于这个函数，有如下断言：「$f(n)$在$n\to \mathrm{\infty }$的情况下与$n^2$渐近等价」，记作$f(n)\sim n^2$。

渐近等价

定义：给定关于自然数$n$的复函数$f$和$g$，

命题$f(n)\sim g(n)(n\to \mathrm{\infty })$表明（使用小o符号）

$f(n)=g(n)+o(g(n))(n\to \mathrm{\infty })$

或（等价记法）

$f(n)=(1+o(1))g(n)(n\to \mathrm{\infty })$。

这说明，对所有正常数$ϵ$，存在常量$N$，使得对于所有的$n⩾N$有

$|f(n)-g(n)|⩽ϵ|g(n)|$。

当$g(n)$不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n)}{g(n)}=1$。

渐近等价是一个关于$n$的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数$f$的等价类包含所有在极限情况下近似等于$f$的函数$g$。

渐近展开

函数$f(x)$的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示$f(x)$的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。

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外部連結

• J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint Template:Wayback.

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