闭值域定理

闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理，给出了闭合稠定线性算子（Template:LeTemplate:Le）的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）一文中给出了证明。

设X与Y为巴拿赫空间，若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子，它的定义域D(X)在X中稠密，而$T^{\prime }$是它的转置算子。则定理指出，如下四个结论等价：

• $T$的值域（像）$\mathrm{Im}(T)$是$Y$中的闭集。
• $T^{\prime }$的值域$\mathrm{Im}(T^{\prime })$是$X$的对偶空间$X^{\prime }$中的闭集。
• $\mathrm{Im}(T)=\mathrm{Ker}(T^{\prime }{)}^{\perp }=\{y\in Y|⟨x^{*},y⟩=0\mathrm{\forall }{x}^{*}\in \mathrm{Ker}(T^{\prime })\}$
• $\mathrm{Im}(T^{\prime })=\mathrm{Ker}(T{)}^{\perp }=\{x^{*}\in X^{\prime }|⟨x^{*},y⟩=0\mathrm{\forall }y\in \mathrm{Ker}(T)\}.$

此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个稠定线性算子T使得Im(T) = Y。相似地，当且仅当T存在连续的逆算子时，$\mathrm{Im}(T^{\prime })=X^{\prime }$。

另见

• 线性代数基本定理

参考来源

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