施图姆-刘维尔理论

Template:Expand English Template:NoteTA 在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程（Template:Lang-en）是指二阶线性实微分方程： Template:NumBlk

其中给定系数函数Template:Math, Template:Math, 和Template:Math均为已知函数，和Template:Mvar是以Template:Mvar为自由变量的未知的待求解函数，称为解；$\lambda$是一个未定常数。Template:Math又记为Template:Math，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数$p(x),w(x),q(x)$应满足以下性质：

• $p(x)>0,w(x)>0$；
• $p(x),p^{\prime }(x),w(x),q(x)$ 均连续；
• $y(x)$ 满足边界条件 ${\alpha }_{1}y(a)+{\alpha }_2{y}^{\prime }(a)=0$ 及 ${\beta }_{1}y(b)+{\beta }_2{y}^{\prime }(b)=0$（${\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2>0,{\beta }_1^2+{\beta }_2^2>0$）。

只有一些恰当的$\lambda$能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些$\lambda$称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

• 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3<\cdots <{\lambda }_n<\cdots ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_n=\mathrm{\infty }$；

• 对于每一个特徵值${\lambda }_n$都有唯一的（已被归一化的）特徵函数$y_n(x)$，且$y_n(x)$在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中$y_n(x)$称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
• 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间$L^2([a,b],w(x)\mathrm{d}x)$上有正交性和完备性，形成一组正交基：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}_n(x)y_m(x)w(x)\mathrm{d}x={\delta }_{mn}$

其中${\delta }_{mn}$是克罗内克函数。

一些函数的施图姆-刘维尔形式

只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-{\nu }^2)y=0$

等价于：

$(x{y}^{\prime }{)}^{\prime }+(x-{\nu }^2/x)y=0.$

勒让德方程

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+\nu (\nu +1)y=0$

注意到 D(1 − x²) = −2x，因此等价于：

$[(1-x^2)y^{\prime }{]}^{\prime }+\nu (\nu +1)y=0$

二体系统施图姆-刘维尔方程

二体问题常用的换元的技巧是通过 $u=1/r$ 和 $\dot{\theta }=L{u}^2/m$ 将原方程中对时间的求导转化为对角度 $\theta$ 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

$(L{u}^{\prime }{)}^{\prime }+Lu=1/L$

使用积分因子的例子

$x^3{y}^{″}-x{y}^{\prime }+2y=0.$

两边同时除以x³:

$y^{″}-\frac{x}{x^3}{y}^{\prime }+\frac{2}{x^3}y=0$

再乘以积分因子：

$\mu (x)=e^{\int -x/x^3\mathrm{d}x}=e^{\int -1/x^2\mathrm{d}x}=e^{1/x},$

得到：

$e^{1/x}{y}^{″}-\frac{e^{1/x}}{x^2}{y}^{\prime }+\frac{2e^{1/x}}{x^3}y=0$

又注意到：

$D{e}^{1/x}=-\frac{e^{1/x}}{x^2}$

因此原方程等价于：

$(e^{1/x}{y}^{\prime }{)}^{\prime }+\frac{2e^{1/x}}{x^3}y=0.$

一般形式二阶常微分方程的积分因子

$P(x)y^{″}+Q(x)y^{\prime }+R(x)y=0$

两边同时乘以积分因子：

$\mu (x)=\frac{1}{P(x)}{e}^{\int Q(x)/P(x)\mathrm{d}x},$

整理后得到：

$\frac{d}{dx}(\mu (x)P(x)y^{\prime })+\mu (x)R(x)y=0$

或者把积分因子写出来：

$\frac{d}{dx}(e^{\int Q(x)/P(x)\mathrm{d}x}{y}^{\prime })+\frac{R(x)}{P(x)}{e}^{\int Q(x)/P(x)\mathrm{d}x}y=0$

参阅

• 简正模