质量加权坐标

质量加权坐标是描述分子内部运动的一套坐标体系

质量加权坐标的导出

假设一个分子或离子是由N个原子组成的，每一个原子都有自己的一个平衡位置坐标，当各个原子进行分子内部运动时就会偏离各自的平衡位置，则每个原子会产生相互正交的三个方向上的位移： $Δ X_{i}$ 、 $Δ Y_{i}$ 和 $Δ Z_{i}$

那么由于这种分子内部运动所引起的动能为：

$T = \sum_{i = 1}^{N} {\frac{1}{2} m_{i} [{(\frac{d X_{i}}{d t})}^{2} + {(\frac{d Y_{i}}{d t})}^{2} + {(\frac{d Z_{i}}{d t})}^{2}]}$

如果把质量和位移结合并用统一的符号表示三个正交的坐标：

$q_{i} = {\sqrt{m_{i}} Δ X_{i}; \sqrt{m_{i}} Δ Y_{i}; \sqrt{m_{i}} Δ Z_{i}}$

这个 $q_{i}$ 就是质量加权坐标。

$T = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{3 N} {(\frac{d q_{i}}{d t})}^{2}$

$V = \frac{1}{2} \sum_{i, j} f_{i j} q_{i} q_{j}$

其中 $f_{i j}$ 称为力常数，表达式为：

$f_{i j} = \frac{\partial V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}$