杜哈梅原理

杜哈梅原理（Template:Lang-en），又称为齐次化原理，是求解非齐次线性偏微分方程（如热传导方程、波动方程）的一种方法。杜哈梅原理以法国数学家杜哈梅的名字命名，他最早在非齐次热传导方程中应用了此方法。该方法可以看作是求解非齐次线性常微分方程时使用的常数变易法（Variation of parameters）的推广。

杜哈梅原理将非齐次问题的求解转化为一组柯西问题（初值问题）的求解。以热传导方程为例，热能分布 $u$ 为 ${ℝ}^n$ 上的函数。初值问题为

$\{\begin{array}{cc}{u}_t(x,t)-\mathrm{\Delta }u(x,t)=0& (x,t)\in {ℝ}^n\times (0,\mathrm{\infty })\\ u(x,0)=g(x)& x\in {ℝ}^n\end{array}$

其中 $g$ 表示初始的热分布。而相应的非齐次问题则为

$\{\begin{array}{cc}{u}_t(x,t)-\mathrm{\Delta }u(x,t)=f(x,t)& (x,t)\in {ℝ}^n\times (0,\mathrm{\infty })\\ u(x,0)=0& x\in {ℝ}^n\end{array}$

可以将非齐次问题看成是无数个瞬时 $t=t_0$ 的齐次问题的叠加。由于方程是线性的，故将每一个 $t_0$ 时刻的齐次问题的解叠加（积分）之后就可以得到非齐次问题的解。这便是杜哈梅原理的基本思想。

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