单叶函数

单叶函数（Template:Lang）是數學領域中的複分析對函數的一種分類，若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集，而函數為单射函數，此函數即為单叶函数。

若$f$為一全純函數，且滿足下式

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

則$f$為单叶函数。

舉例

任何由開集单位圆盘映射到本身的映射${\varphi }_a(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}$（其中$|a|\le 1$）為单叶函数。

函數$f:z\mapsto 2z+z^2$在開單位圓盤內是单叶函数，因為$f(z)=f(w)$也就表示$f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$，而第二個因式在開單位圓盤內都不為零，因此$z=w$，$f$是單射函數。

基本性質

若$G$及$\mathrm{\Omega }$為二個複數平面中的開集連通空間，且

$f:G\to \mathrm{\Omega }$

是一個滿足$f(G)=\mathrm{\Omega }$的單葉函數（有一對一的對應關係），則$f$導數恆不為0，$f$可逆，而且其逆元素$f^{-1}$也是全純函數。依链式法则可得到下式：

$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(z))=\frac{1}{f^{\prime }(z)}$

對所有$G.$中的複數$z$皆成立。

和實函數的比較

實解析函數和全純函數不同，上述的性質在實解析函數中不成立，考慮以下的實數函數：

$f:(-1,1)\to (-1,1)$

而ƒ(x) = x³。此函數也是单射函數，但在x = 0處其導數為0，其逆元素在 (−1, 1)區間中也不都是解析函數，也不完全可微。

若將定義域擴展到複數平面內，原點附近的開放子集$G$內，上述函數就不是单射函數了，例如$f(\epsilon \omega )=f(\epsilon )$（其中$\omega$是三次單位根，而$\epsilon$是小於$G$半徑的正實數）。

參考資料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.