粒子衰變

Template:NoteTA 粒子衰變是一基本粒子變成其他基本粒子的自發過程。在這個過程中，一基本粒子變成質量更輕的另一種基本粒子，及一中間粒子，例如μ子衰變中的W玻色子。這中間粒子隨即變成其他粒子。如果生成的粒子不穩定，那麼衰變過程還會繼續。

粒子衰變這種過程，與放射性衰變不一樣，後者為一不穩定的原子核，變成一更小的原子核，當中還伴隨着粒子或輻射的發射。

注意本條目使用自然單位，即

$c=\hslash =1$。

粒子壽命列表

所有數值均來自粒子數據小組：

種類	名稱	符號	能量 (MeV)	平均壽命
輕子	電子 / 正電子	$e^{-}/e^{+}$	0.511	$>4.6\times 10^{26}$ 年
	μ子 / 反μ子	${\mu }^{-}/{\mu }^{+}$	105.6	$2.2\times 10^{-6}$ 秒
	τ子 / 反τ子	${\tau }^{-}/{\tau }^{+}$	1777	$2.9\times 10^{-13}$ 秒
介子	中性π介子	${\pi }^0$	135	$8.4\times 10^{-17}$ 秒
	帶電π介子	${\pi }^{+}/{\pi }^{-}$	139.6	$2.6\times 10^{-8}$ 秒
重子	質子 / 反質子	$p^{+}/p^{-}$	938.2	$>10^{29}$ 年
	中子 / 反中子	$n/\overline{n}$	939.6	$885.7$ 秒
玻色子	W玻色子	$W^{+}/W^{-}$	80,400	$10^{-25}$ 秒
	Z玻色子	$Z^0$	91,000	$10^{-25}$ 秒

生還概率

把一粒子的平均壽命標記為$\tau$，這樣粒子在時間t後仍生還（即未衰變）的概率為

$P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}$

其中

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$為該粒子的勞侖茲因子。

衰變率

設一粒子質量為M，則衰變率可用下面的通用公式表示

$d{\mathrm{\Gamma }}_n=\frac{(2\pi {)}^4}{2M}{\left|ℳ\right|}^{2}d{\mathrm{\Phi }}_n(P;p_1,p_2,\dots ,p_n)$

其中

n為原衰變所生成的粒子數，

$ℳ$為連接始態與終態的不變矩陣上的元，

$d{\mathrm{\Phi }}_n$ 為相空間的元，及

$p_i$為粒子i 的四維動量。

相空間可由下式所得，

$d{\mathrm{\Phi }}_n(P;p_1,p_2,\dots ,p_n)={\delta }^4(P-\sum _{i=1}^n{p}_i)\left(\prod _{i=1}^n\frac{d^3{\overrightarrow{p}}_i}{(2\pi {)}^{3}2E_i}\right)$

其中

${\delta }^4$為四維的狄拉克δ函數。

三體衰變

作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下：

$d{\mathrm{\Phi }}_3=\frac{1}{(2\pi {)}^9}{\delta }^4(P-p_1-p_2-p_3)\frac{d^3{\overrightarrow{p}}_1}{2E_1}\frac{d^3{\overrightarrow{p}}_2}{2E_2}\frac{d^3{\overrightarrow{p}}_3}{2E_3}$

四維動量

Template:Main 一粒子的四維動量又叫其不變質量。

一粒子的四維動量平方，定義為其能量平方與其三維動量平方間的差（注意從這開始，採用的單位都能滿足光速等於1這項條件）：

$p^2=E^2-(\overrightarrow{p}{)}^2=m^2(1)$

兩粒子的四維動量平方為

$p^2={(p_1+p_2)}^2=p_1^2+p_2^2+2p_1{p}_2=m_1^2+m_2^2+2(E_1{E}_2-{\overrightarrow{p}}_1\cdot {\overrightarrow{p}}_2)$。

四維動量守恆

在所有衰變及粒子相互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態p_i 與終態p_f 的關係為

$p_{\mathrm{i}}=p_{\mathrm{f}}$。

在二體衰變中

設母粒子質量為M，衰變成兩粒子（標記為1和2），那麼四維動量的守恆條件則為

$p_M=p_1+p_2$。

整理可得，

$p_M-p_1=p_2$

然後取左右兩邊的平方

$p_M^2+p_1^2-2p_M{p}_1=p_2^2$。

現在要用的正是四維動量的定義——方程(1)，展開各p² 得

$M^2+m_1^2-2(E_M{E}_1-{\overrightarrow{p}}_M\cdot {\overrightarrow{p}}_1)=m_2^2.(2)$

若進入母粒子的靜止系，則

• ${\overrightarrow{p}}_M=0$，及
• $E_M=M$

將上述兩式代入方程(2)得：

$M^2+m_1^2-2M{E}_1=m_2^2.$

整理後得粒子1於母粒子靜止系中的能量公式，

$E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M}.(3)$

同樣地，粒子2在母粒子在靜止系中的能量為

$E_2=\frac{M^2+m_2^2-m_1^2}{2M}$。

可得

$|{\overrightarrow{p}}_1|=|{\overrightarrow{p}}_2|=\frac{\sqrt{[M^2-{(m_1+m_2)}^2][M^2-{(m_1-m_2)}^2]}}{2M}.$

先把$E_1^2=m_1^2+{\overrightarrow{p}}_1^2$ 代入方程(3)：

${\overrightarrow{p_1}}^2=\frac{(M^2+m_1^2-m_2^2{)}^2-4m_1^2{M}^2}{4M^2}$

${\overrightarrow{p_1}}^2=\frac{M^4+m_1^4+m_2^4-2m_1^2{M}^2-2m_2^2{M}^2-2m_1^2{m}_2^2}{4M^2}$

${\overrightarrow{p_1}}^2=\frac{M^4-M^2(m_1+m_2{)}^2-M^2(m_1-m_2{)}^2+(m_1^2-m_2^2{)}^2}{4M^2}$

${\overrightarrow{p_1}}^2=\frac{M^2[M^2-(m_1-m_2{)}^2]-(m_1+m_2{)}^2[M^2-(m_1-m_2{)}^2]}{4M^2}$

$|{\overrightarrow{p}}_1|=\frac{\sqrt{[M^2-{(m_1+m_2)}^2][M^2-{(m_1-m_2)}^2]}}{2M}.$

$|{\overrightarrow{p}}_2|$的推導也一樣。

二體衰變

從兩個不同的參考系

在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示：

$\tan {\theta }^{\prime }=\frac{\sin \theta }{\gamma (\beta /{\beta }^{\prime }+\cos \theta )}$

衰變率

設一母粒子質量為M ，衰變成兩粒子，標記為1和2。那麼在母粒子的靜止系中，

$|{\overrightarrow{p}}_1|=|\overrightarrow{p_2}|=\frac{[(M^2-(m_1+m_2{)}^2)(M^2-(m_1-m_2{)}^2){]}^{1/2}}{2M}$。

另外，用球座標表示則為

$d^3\overrightarrow{p}=|p{|}^{2}dpd\mathrm{\Omega }=p^{2}d\varphi d(\cos \theta )$。

已知二體衰變的相空間元（見上文#衰變率一節，n=2），得母粒子參考系中的衰變率為：

$d\mathrm{\Gamma }=\frac{1}{32{\pi }^2}{\left|ℳ\right|}^2\frac{|{\overrightarrow{p}}_1|}{M^2}d{\varphi }_{1}d(\cos {\theta }_1)$。

另見

• 粒子物理學
• 粒子列表
• 弱相互作用

參考資料

• Template:Cite journal －見第2頁。
• 粒子數據小組 Template:Wayback
• 粒子大冒險 勞倫斯伯克利國家實驗室粒子數據小組