分圆多项式

Template:Expand Template:Unreferenced $n$ 次分圆多项式，是指多项式 $x^n-1$ 分解因式结果中的一个特定多项式 $f(x)$，满足 $f(x)=0$ 的解都不是低于 $n$ 次的形如 $x^n-1=0$ 的方程的解。

n次的分圓多項式的根是 ${\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi k}{n}}$（对所有满足 $\gcd (k,n)=1$ 的整数 $k$）。

例子

下表是几个次数较低的分圆多项式。

次数	对应的分圆多项式
1	$x-1$
2	$x+1$
3	$x^2+x+1$
4	$x^2+1$
5	$x^4+x^3+x^2+x+1$
6	$x^2-x+1$
7	$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$
8	$x^4+1$
9	$x^6+x^3+1$
10	$x^4-x^3+x^2-x+1$
11	$x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$
12	$x^4-x^2+1$

性質

基礎性質： 分圓多項式是整系數的不可約多項式，對於 $x^n-1$ 的分圓多項式 $f(n)$ ，有 $f(n)$ 的次數為 $\phi (n)$，其中 $\phi (n)$ 是歐拉函数。

計算： 對於n為質數的分圓多項式，我們有： $f\left(x\right)=1+x+x^2+...+x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k$