ECT理论-牛顿引力理论

Template:Multiple issues 返回在牛顿引力场中，粒子运动的拉格朗日量为：

$L = \frac{1}{2} m \vec{v} \cdot \vec{v} - m φ (\vec{x})$

其中 $\vec{v}$ —粒子速度， $φ (\vec{x})$ —牛顿引力势粒子运动方程由最小作用量原理 $δ S = \int_{t 1}^{t 2} δ L d t = 0$ 决定：

0 = δ S = \int_{t 1}^{t 2} δ L d t

= \int_{t 1}^{t 2} δ (\frac{1}{2} m \vec{v} \cdot \vec{v} - m φ (\vec{x})) d t

= \int_{t 1}^{t 2} (m \vec{v} \cdot δ \vec{v} - m δ φ (\vec{x})) d t

= \int_{t 1}^{t 2} (m \vec{v} \cdot \frac{d δ \vec{x}}{d t} - m \nabla φ (\vec{x}) \cdot δ \vec{x}) d t

= m \vec{v} \cdot δ \vec{x} |_{t 1}^{t 2} - \int_{t 1}^{t 2} (m \frac{d \vec{v}}{d t} \cdot δ \vec{x} + m \nabla φ (\vec{x}) \cdot δ \vec{x}) d t

= - \int_{t 1}^{t 2} (m \frac{d \vec{v}}{d t} + m \nabla φ (\vec{x})) \cdot δ \vec{x} d t

因此有： $m \frac{d \vec{v}}{d t} + m \nabla φ (\vec{x}) = 0$ 即： $\vec{a} = - \nabla φ (\vec{x})$ ，这是牛顿引力场中的粒子运动方程。考虑在牛顿引力场中无压理想流体的运动，则拉格朗日量变为：

$L = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x})) d V$

其中： $ρ$ —流体质量密度， $d V$ —体积元。牛顿引力场本身的拉格朗日量为：

$L_{g} = \int (- \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V$

同时考虑引力场和无压理想流体，其总拉格朗日量为：

$L = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V$

为了得到引力场的运动方程，只对 $φ (\vec{x})$ 取变分我们有：

0 = δ S = \int_{t 1}^{t 2} δ L d t

= \int_{t 1}^{t 2} δ \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V d t

= \int_{t 1}^{t 2} \int (- ρ δ φ (\vec{x}) - \frac{1}{4 π G} \nabla φ \cdot δ (\nabla φ)) d V d t

= \int_{t 1}^{t 2} \int (- ρ δ φ (\vec{x}) - \frac{1}{4 π G} \nabla φ \cdot \nabla (δ φ)) d V d t

= \int_{t 1}^{t 2} \int (- ρ δ φ (\vec{x}) - \frac{1}{4 π G} (\nabla \cdot (δ φ \nabla φ) - δ φ \nabla^{2} φ)) d V d t

= \int_{t 1}^{t 2} \int_{Σ} (- \frac{1}{4 π G} δ φ \nabla φ \cdot d \vec{S}) + \int (- ρ δ φ (\vec{x}) + \frac{1}{4 π G} δ φ \nabla^{2} φ) d V d t

，其中

Σ

-包围体积V的边界

= \int (- ρ + \frac{1}{4 π G} \nabla^{2} φ) δ φ (\vec{x}) d V d t

因此有引力场运动方程 $\nabla^{2} φ = 4 π G ρ$ 。这样，我们有包含引力场和无压理想流体的总拉格朗日密度为：

$L = \frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ$

按照分析力学原理，我们有守恒量---哈密顿量（其中： $\dot{φ} = \frac{\partial φ}{\partial t}$ ）为：

\begin{matrix} H = \int (\sum_{i = 1}^{3} v_{i} \frac{\partial L}{\partial v_{i}} + \dot{φ} \frac{\partial L}{\partial \dot{φ}} - L) d V \\ = \int \sum_{i = 1}^{3} v_{i} \frac{\partial}{\partial v_{i}} (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \\ ^{} + \int \dot{φ} \frac{\partial}{\partial \dot{φ}} (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \\ ^{} - \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \\ = \int (ρ \vec{v} \cdot \vec{v}) d V - \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - ρ φ (\vec{x}) - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \\ = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} + ρ φ (\vec{x}) + \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \end{matrix}

其中 $ρ φ (\vec{x})$ 代表理想流体与引力场的相互作用能，可以将它归为理想流体的能量，也可以把它归为引力场的能量，我们现在把它归为引力场的能量，这时需要从引力场运动方程解出： $ρ = \frac{1}{4 π G} \nabla^{2} φ$ ，代入上式得：

\begin{matrix} H = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} + \frac{1}{4 π G} φ \nabla^{2} φ + \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \\ = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} + \frac{1}{4 π G} \nabla (φ \nabla φ) - \frac{1}{4 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ + \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V \end{matrix}

= \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V + \frac{1}{4 π G} \int_{Σ} φ \nabla φ \cdot d \vec{S}

其中： $Σ$ 为包围体积V边界。体积V是全空间。一般我们考虑有限区域的理想流体和引力场的情况，这时边界是无限远处，无限远处的边界条件是 $φ \nabla φ \to O (\frac{1}{r^{3}})$ ， $d \vec{S} \to O (r^{2})$ ，其积 $φ \nabla φ \cdot d \vec{S} \to O (\frac{1}{r})$ ，因此 $\int_{Σ} φ \nabla φ \cdot d \vec{S} = 0$ .考虑到有限区域的理想流体和引力场以及边界条件，我们有：

$H = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V$

在分析力学中我们称哈密顿量为能量，因此又可写为：

$E = \int (\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v} - \frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ) d V$

哈密顿量是守恒量即 $\frac{d H}{d t} = 0$ 也即 $\frac{d E}{d t} = 0$ 。从上面的结果我们看到： $\frac{1}{2} ρ \vec{v} \cdot \vec{v}$ 代表理想流体的动能密度 $T_{m}$ ， $\frac{1}{8 π G} \nabla φ \cdot \nabla φ$ 代表引力能密度 $T_{g}$ ，这时我们看到总能量密度是 $ε = T_{m} - T_{g}$ ，引力能贡献的是负能。当然，如果将相互作用能归为理想流体的能量，则引力能贡献的是正能，数值仍然是 $T_{g}$ 。返回

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