Atan2

在三角函数中，两个参数的函数$\mathrm{atan2}$是正切函数$\tan$的一个变种。对于任意不同时等于0的实参数$x$和$y$，$\mathrm{atan2}(y,x)$所表达的意思是坐标原点为起点，指向$(x,y)$的射线在坐标平面上与x轴正方向之间的角的角度。当$y>0$时，射线与x轴正方向的所得的角的角度指的是x轴正方向绕逆时针方向到达射线旋转的角的角度；而当$y<0$时，射线与x轴正方向所得的角的角度指的是x轴正方向绕顺时针方向达到射线旋转的角的角度。

在几何意义上，$\mathrm{atan2}(y,x)$等价于$\mathrm{atan}(\frac{y}{x})$，但$\mathrm{atan2}$的最大优势是可以正确处理$x=0$而$y\ne 0$的情况，而不必进行会引发除零异常的$\frac{y}{x}$操作。

$\mathrm{atan2}$函数最初在计算机编程语言中被引入，但是现在它的应用在科学和工程等其他多个领域十分常见。他的出现最早可以追溯到FORTRAN语言，并且可以在C语言的数学标准库的math.h文件中找到，此外在Java数学库、.NET的System.Math（可应用于C#、VB.NET等语言）、Python的数学模块以及其他地方都可以找到atan2的身影。许多脚本语言，比如Perl，也包含了C语言风格的atan2函数。

函数定义

该函数基于值域为 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 的反正切函数，定义如下：

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)+\pi & y\ge 0,x<0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\pi & y<0,x<0\\ +\frac{\pi }{2}& y>0,x=0\\ -\frac{\pi }{2}& y<0,x=0\\ \text{undefined}& y=0,x=0\end{array}$

说明:

• 该函数的值域为$(-\pi ,\pi ]$，可以通过对负数结果加$2\pi$的方法，将函数的结果映射到$[0,2\pi )$范围内。

其他软件中的变形

不同计算机语言中该函数的实现各有差异。

vb6:

atan2(x,y)=

(x<>0+y<>0)*

(x<=0)*2*Atn(sgn(y)^sgn(y))/2^(x<>0)-

(x<>0)*Atn(y*x^(x<>0))

adodb.connect.execute:

SELECT (x<>0+y<>0)*(x<=0)*2*Atn(sgn(y)^sgn(y))/2^(x<>0)-(x<>0)*Atn(y*x^(x<>0)) AS AT_ FROM (SELECT Col1 AS x,Col2 AS y) T_

(x<>0+y<>0)可省略

有关图片

单位圆内的atan2取值

旁边的图片显示内容是：在一个单位圆内$\mathrm{atan2}$函数在各点的取值。圆内标注代表各点的取值的幅度表示。

图片中，从最左端开始，角度的大小随着逆时针方向逐渐从$-\pi$增大到$+\pi$，并且角度大小在点位于最右端时，取值为0。

另外要注意的是，函数$\mathrm{atan2}(y,x)$中参数的顺序是倒置的，$\mathrm{atan2}(y,x)$计算的值相当于点$(x,y)$的角度值。

下方的图片显示的是单位圆上各点在atan2函数上的值，从原点射向$(0,1)$点的射线，开始绕逆时针方向可以与x轴正方向得到对应各点的复平面的复角，其中几个特殊点取值：

• $(0,1)$对应的复平面夹角为$\frac{\pi }{2}$，
• $(-1,0)$对应复平面的夹角为$\pi$，
• $(0,-1)$对应复平面的夹角为$\frac{3\pi }{2}$，
• 回到$(1,0)$复平面的夹角为$0=(2n\pi mod2\pi )$。

这些你可以直观地从图中看出。

下面的插图分别显示的是$\mathrm{atan2}(y,x)$和$\mathrm{atan}(\frac{y}{x})$在坐标平面的三维景象。

注意在$\mathrm{atan2}(y,x)$函数中，从原点辐射出的射线上有常数值，而在$\mathrm{atan}(\frac{y}{x})$的函数中，经过原点的直线有常数值。

参见

• 辐角
• 复数
• 反三角函数中的反正切（正切函数的反函數）

外部链接

• Java 1.6 SE JavaDocTemplate:Wayback
• C++ Programmer's ReferenceTemplate:Wayback