黑格纳数

Template:Expert Template:Expand 黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環。

黑格纳数-{只}-有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。Template:OEIS

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年Template:Link-en提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為Template:Link-en。

歐拉的質數多項式

歐拉的質數多項式如下：

$n^2+n+41,$

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式，$n$取值為1,... 40和以下的多項式

$n^2+n+41,$

讓$n$取值0,... 39時等效，而Rabinowitz證明了

$n^2+n+p$

在$n=0,\dots ,p-2$時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式$1-4p$等於負的黑格纳数。

（若代入$p-1$會得到$p^2$一定不是質數，因此最大值只能取到$p-2$）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為$7,11,19,43,67,163$，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為$2,3,5,11,17,41$，這些數字被Template:Le稱為Template:Le。

拉马努金常数

拉马努金常数是$e^{\pi \sqrt{163}}$的值，是超越數，但非常接近整数：

$e^{\pi \sqrt{163}}=262,537,412,640,768,743.99999999999925\dots$

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現，在1975年愚人節的《科学美国人》，《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用Template:Le的Template:Le及q展開來表示。

外部連結

• Template:MathWorld
• Template:SloanesRef
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld Template:Wayback: Detailed history of problem.
• Template:Cite web