戴德金分割

Template:NoteTA 戴德金分割（Template:Lang-en）是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集$A$及其中某个元素$x$而言，将$A$分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在$x$之前、另一真子集中所有元素均在$x$之后。

常见的是对于全体有理数的操作，即$A=\mathbb{Q}$。对于有理数$x$，将有理数集合分拆为两个非空集合$A$和$A^{\prime }$，若$A$和$A^{\prime }$满足条件：

1. $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q}$，关系式$a\in A$和$a\in A^{\prime }$必有且只有一个成立。
2. $\mathrm{\forall }a\in A$，$\mathrm{\forall }{a}^{\prime }\in A^{\prime }$，必有$a<a^{\prime }$，并且$a\le x$和$x\le a^{\prime }$两者在不同时取等号时均成立。

则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为$A|A^{\prime }$。其中集合$A$称为戴德金分割的下组，集合$A^{\prime }$称为戴德金分割的上组。

分类

根据戴德金分割中$A$和$A^{\prime }$是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：

1. $A$中有最大数，$A^{\prime }$中无最小数
2. $A$中无最大数，$A^{\prime }$中有最小数
3. $A$中无最大数，$A^{\prime }$中无最小数

可以证明，“$A$中有最大数，$A^{\prime }$中有最小数」的情况并不存在。证明如下：

如果$A$有最大数$a$，$A^{\prime }$有最小数$b$，则根据分割的定义可知 $a<b$。但是 $(a+b)/2$ 显然也是有理数，并且 $a<(a+b)/2<b$，因此 $(a+b)/2$ 既不在 $A$ 中, 也不在 $A^{\prime }$ 中，这就与 $A\cup A^{\prime }$ 是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」（$A$和$A^{\prime }$之间的界数），这个「空隙」所对应的数既不属于$A$，也不属于$A^{\prime }$，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 $(-\mathrm{\infty },d]\cup (d,+\mathrm{\infty })$、$(-\mathrm{\infty },d)\cup [d,+\mathrm{\infty })$ 和 $(-\mathrm{\infty },d)\cup (d,+\mathrm{\infty })$，而“$A$中有最大数、$A^{\prime }$中有最小数”的情况就是 $(-\mathrm{\infty },d]\cap [d,+\mathrm{\infty })$，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

例子

1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合$A$，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合$A^{\prime }$，则$A|A^{\prime }$是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。
2. 将所有小于0的有理数划分为集合$A$，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合$A^{\prime }$，则$A|A^{\prime }$是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。
3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},a\le 0,a^2\le 3$的数）划分到集合$A$，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合$A^{\prime }$，则$A|A^{\prime }$是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割$A|A^{\prime }$定义了无理数$\sqrt[]{3}$。

定義大小

假设无理数$\alpha$由分划$A|A^{\prime }$所确定，无理数$\beta$由分划$B|B^{\prime }$所确定，则

1. 若集合$A=B$或$A^{\prime }=B^{\prime }$，则称无理数$\alpha$与$\beta$相等，记为$\alpha =\beta$。
2. 若集合$A\supset B$（$A\ne B$），则称无理数$\alpha$大于$\beta$，记为$\alpha >\beta$。

无理数小于（$<$）的概念可由大于（$>$）的概念定义，即$\beta <\alpha$当且仅当$\alpha >\beta$。如此得到實數系的大小關係，其性質有：

1. 任意实数$\alpha ,\beta$，必有且只有下列关系式之一成立：$\alpha =\beta ,\alpha >\beta ,\alpha <\beta$。
2. 传递性：若实数$\alpha >\beta ,\beta >\gamma$，则$\alpha >\gamma$。对于小于（$<$）的情形，传递性同样成立。

所以該大小關係是全序關係。

参阅

• 无理数
• 實數的構造

参考文献

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