啁啾

啁啾（Template:Lang）是指頻率隨時間而改變（增加或減少）的信號。其名称来源于這種信號聽起來類似鳥鳴的啾聲。

定義

瞬時頻率

當有一信號 $x(t)=A\sin (\varphi (t))$，其瞬時角頻率為

$\omega (t)=\frac{\mathrm{d}\varphi (t)}{\mathrm{d}t},$

經適當歸一化所得瞬時頻率為

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{\mathrm{d}\varphi (t)}{\mathrm{d}t}.$

啁啾度

對前兩式再求導，得到瞬時角頻率的變化速率為瞬時角啁啾度（Template:Lang-en）

$\gamma (t)=\frac{{\mathrm{d}}^2\varphi (t)}{\mathrm{d}{t}^2},$

類似有瞬時（普通）啁啾度（Template:Lang-en）為

$c(t)=\frac{1}{2\pi }\gamma (t)=\frac{1}{2\pi }\frac{{\mathrm{d}}^2\varphi (t)}{\mathrm{d}{t}^2}.$

分類

線性

File:LinearChirpMatlab.png

線性啁啾的时频谱，顯示頻率隨時間變化為線性，由0至7 kHz，每2.3秒重覆。圖中，色彩的鮮豔度表示訊號在指定時間和頻率所含的能量。

有種啁啾的瞬時頻率 $f(t)$ 呈線性變化，即有 $f(t)=f_0+ct$，其中

$c=\frac{f_1-f_0}{T}$

為常值。積分計算出，相位為 $t$ 的二次函數：

$\begin{array}{cc}\varphi (t)& ={\varphi }_0+2\pi \underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\varphi }_0+2\pi \underset{0}{\overset{t}{\int }}(c\tau +f_0)\mathrm{d}\tau \\ & ={\varphi }_0+2\pi (\frac{c}{2}{t}^2+f_{0}t),\end{array}$

從而信號在時域表示為

$x(t)=A\cos ({\varphi }_0+2\pi (\frac{c}{2}{t}^2+f_{0}t)).$

此種訊號又稱二次相位訊號。

傅立葉變換

因為是實數輸入，所以其快速傅立葉轉換會是對稱於中心的

File:FFT chirp.png

FFT 啁啾

範例與應用

音頻訊號

在大自然中常常可以遇到啁啾信號，例如鳥叫聲、音樂的滑音、動物發聲的聲音（青蛙、鯨魚）以及人類語音，通常會使用正弦、餘弦的模型去表示之，而這樣的模型去做疊加即可模擬出許多大自然的訊號。

雷達與聲納系統

啁啾信號也常用於天然聲納系統的觀察，大多數種類的蝙蝠可以利用啁啾信號，直接控制回聲定位系統，這種情況也類似於人類的雷達與聲納系統，為了能夠測量長距離又保留時間的解析度，雷達需要短時間的派衝波但是又要持續的發射信號，啁啾信號可以同時保留連續信號和脈衝的特性，因此被應用在雷達和聲納探測上。

波物理學

低頻率的啁啾信號可用作觀察大氣層中之電離層的訊號。

機械與震動學

對於汽車發動、或是氣體點火室的頻率對時間變化量也會用到啁啾信號，除了音樂以外，在記錄震動的儀器中也常常會使用到、觀察到啁啾信號。

生物學和醫學

在生物醫學信號裡面，例如腦電圖（EEG）或是與懷孕有關的子宮Template:Le（EMG）也會遇到許多與啁啾信號有關的相關訊號，進而去分析與探討受測體的生理情況。

臨界現象

在一些關鍵現象中，啁啾信號已經被證明與許多奇異行為有關，透過加速震盪的啁啾信號可以分析出地震、金融海嘯、投資泡沫等情況的徵兆。

參考資料

• Steven W. Smith, Ph.D."The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing",Chapter 11.[1]Template:Wayback
• Time-frequency and chirps, Patrick Flandrin[2]Template:Wayback
• Chirp Signal – Frequency Sweeping – FFT and power spectral densityTemplate:Wayback [3]