离散傅里叶级数

Template:Unreferenced Template:NoteTA Template:傅里叶变换 离散傅里叶级数（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。

离散傅里叶级数的公式

周期为N的周期序列 ${a_{n}}$ ，其离散傅里叶级数为 ${x_{k}}$ ：

$x [k] = \sum_{n = < N >} a_{n} \cdot e^{- i n (\frac{2 π}{N}) k}$

其中，DFS的逆变换序列：

$a_{n} = \frac{1}{N} \sum_{k = < N >} x [k] \cdot e^{i n (\frac{2 π}{N}) k}$ （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

连续周期信号的离散化（下面的讨论中， $ω_{0} = \frac{2 π}{T}$ ）：

首先，在傅里叶级数一文中，我们知道函数 $f (t) = e^{i (\frac{2 π}{T}) t}$ 是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当 $\frac{ω_{0}}{2 π}$ 是有理数时，离散信号f[n]才是周期函数。
其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号 $f_{k} (t)$ 对应的离散信号 $f_{k} [n] = e^{i k (\frac{2 π}{N}) n}$ 对k也具有周期性，其周期为N,即 $f_{k} [n]$ 中只有N个不同的序列。
从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出， $a_{k}$ 也是对k周期为N的函数。
离散傅里叶变换实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的，如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]： $f^{'} [n] = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} f (n + i \cdot N)$ 。并且当 $N \to \infty$ 时，f'[n]实际上就是f[n]，那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样，当 $N \to \infty$ 时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数 $X (e^{i ω})$ （正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是f[n]的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。