黎納-維謝勢

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-{zh-hans:埃米尔·维舍特;zh-tw:艾密·維謝}-

在電動力學裏，黎納-維謝勢指的是移動中的帶電粒子的推遲勢。從馬克士威方程組，可以推導出黎納-維謝勢；而從黎納-維謝勢，又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是，黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為。

Template:Link-en於1898年，-{zh-hans:埃米尔·维舍特;zh-tw:艾密·維謝}-於1900年，分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式。於1995年，Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子和四極子的推遲勢。

歷史重要性

經典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立。

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

物理理論

帶電粒子的移動軌道。

假設，從源頭位置${𝐫}^{\prime }$往檢驗位置$𝐫$發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間$t$抵達觀測者的檢驗位置$𝐫$，則這束電磁波發射的時間是推遲時間$t_r$。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間$t$，會不同於這電磁波發射的推遲時間$t_r$。推遲時間 $t_r$定義為檢驗時間$t$減去電磁波傳播的時間：

$t_r\stackrel{def}{=}t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$；

其中，$c$是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為時間延遲。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

表達方程式

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為$q$，隨著時間$t$而改變的運動軌道為$𝐰(t)$。設定向量$\Re$為從帶電粒子位置${𝐫}^{\prime }=𝐰(t)$到檢驗位置$𝐫$的分離向量：

$\Re =𝐫-{𝐫}^{\prime }=𝐫-𝐰(t)$。

則黎納-維謝純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$和黎納-維謝向量勢$𝐀(𝐫,t)$分別以方程式表達為

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{qc}{\Re c-\Re \cdot 𝐯}$、

$𝐀(𝐫,t)=\frac{𝐯}{c^2}\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$；

其中，${ϵ}_0$是真空電容率，$𝐯$是帶電粒子的移動速度，$𝐯(t)=\frac{d𝐰}{dt}$。

雖然黎納-維謝純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$和黎納-維謝向量勢$𝐀(𝐫,t)$的時間參數是$t$，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置${𝐫}^{\prime }$和速度$𝐯$都是採推遲時間$t_r$時的數值：

${𝐫}^{\prime }=𝐰(t_r)$、

$𝐯=𝐯(t_r)$。

推導

從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$與推遲向量勢$𝐀(𝐫,t)$分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)\stackrel{def}{=}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\Re }{d}^3{𝐫}^{\prime }$、

$𝐀(𝐫,t)\stackrel{def}{=}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{\Re }{d}^3{𝐫}^{\prime }$；

其中，$\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)$和$𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)$分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，${𝒱}^{\prime }$是積分的體空間，$d^3{𝐫}^{\prime }$是微小體元素，$\Re$向量還是採推遲時間$t_r$時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

$\rho (𝐫,t)=q\delta (𝐫-𝐰(t))$；

其中，$\delta (𝐫-𝐰(t))$是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$的方程式，

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\frac{\delta ({𝐫}^{\prime }-𝐰(t_r))}{\Re }{d}^3{𝐫}^{\prime }$。

由於狄拉克δ函數$\delta ({𝐫}^{\prime }-𝐰(t_r))$的積分會從${𝐫}^{\prime }$的可能值中，挑選出當${𝐫}^{\prime }=𝐰(t_r)$時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間${𝐫}^{\prime }=𝐰(t_r)$時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\Re }\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\delta ({𝐫}^{\prime }-𝐰(t_r))d^3{𝐫}^{\prime }$。

由於推遲時間$t_r$跟三個變數$t$、$𝐫$、${𝐫}^{\prime }$有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法。設定變數$\mathit{\eta }={𝐫}^{\prime }-𝐰(t_r)$。那麼，其雅可比行列式$𝔍$為

$𝔍=\frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial {𝐫}^{\prime }}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial {\eta }_x}{\partial x^{\prime }}& \frac{\partial {\eta }_x}{\partial y^{\prime }}& \frac{\partial {\eta }_x}{\partial z^{\prime }}\\ \frac{\partial {\eta }_y}{\partial x^{\prime }}& \frac{\partial {\eta }_y}{\partial y^{\prime }}& \frac{\partial {\eta }_y}{\partial z^{\prime }}\\ \frac{\partial {\eta }_z}{\partial x^{\prime }}& \frac{\partial {\eta }_z}{\partial y^{\prime }}& \frac{\partial {\eta }_z}{\partial z^{\prime }}\end{array}\right|$。

行列式內分量很容易計算，例如：

$\frac{\partial {\eta }_x}{\partial x^{\prime }}=1-\frac{\partial w_x}{\partial x^{\prime }}=1-\frac{\partial w_x}{\partial t_r}\frac{\partial t_r}{\partial x^{\prime }}=1-v_x\frac{\partial t_r}{\partial x^{\prime }}$、

$\frac{\partial {\eta }_y}{\partial x^{\prime }}=\frac{\partial w_y}{\partial x^{\prime }}=\frac{\partial w_y}{\partial t_r}\frac{\partial t_r}{\partial x^{\prime }}=v_y\frac{\partial t_r}{\partial x^{\prime }}$。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到

$𝔍=1-𝐯\cdot {\mathrm{\nabla }}^{\prime }{t}_r=1-\hat{\Re }\cdot 𝐯/c$。

所以，推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$的方程式變為

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\Re }\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\delta (\mathit{\eta })\frac{\partial {𝐫}^{\prime }}{\partial \mathit{\eta }}{d}^3\mathit{\eta }=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\Re }\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\frac{\delta (\mathit{\eta })}{𝔍}{d}^3\mathit{\eta }=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0\Re }\underset{{𝒱}^{\prime }}{\int }\frac{\delta (\mathit{\eta })}{1-\hat{\Re }\cdot 𝐯/c}{d}^3\mathit{\eta }$。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{qc}{\Re c-\Re \cdot 𝐯}$。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

相對論性導引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作$S^{\prime }$。在$S^{\prime }$系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。Template:Rp

${\varphi }^{\prime }=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{\Re }^{\prime }}$、

$A^{\prime }=0$。

标势和矢势从$S^{\prime }$系到$S$系的变换满足洛仑兹变换：

$\varphi =\gamma ({\varphi }^{\prime }-c\beta A^{\prime })$、

$A=\gamma (-A^{\prime }+\beta {\varphi }^{\prime }/c)$；

其中，$\gamma$是洛仑兹因子，$\mathit{\beta }=𝐯/c$。

代入后可以得到：

$\varphi =\frac{\gamma q}{4\pi {ϵ}_0{\Re }^{\prime }}$、

$𝑨=\frac{\gamma q\mathit{\beta }}{4\pi {ϵ}_0{\Re }^{\prime }c}$。

${\Re }^{\prime }$和$\Re$的变换关系也由洛仑兹变换给出：

${\Re }^{\prime }=c\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=c\gamma (\mathrm{\Delta }t-\mathit{\beta }\cdot \Re /c)=\gamma (\Re -\mathit{\beta }\cdot \Re )$

将${\Re }^{\prime }$的表达式代入即得到黎納-维谢势。

物理意義

對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{\Re }$。

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子$𝔍$。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应。

移動中的帶電粒子的電磁場

從黎納-維謝勢，可以計算電場$𝐄$和磁場$𝐁$：

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$、

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$。

求得的電場$𝐄$和磁場$𝐁$分別為

$𝐄(𝐫,t)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\Re }{(\Re \cdot 𝐮{)}^3}[(c^2-v^2)𝐮+\Re \times (𝐮\times 𝐚)]$、

$𝐁(𝐫,t)=\frac{1}{c}\hat{\Re }\times 𝐄(𝐫,t)$ ;

其中，向量$𝐮$設定為$c\hat{\Re }-𝐯$，帶電粒子的加速度是$𝐚=\frac{d𝐯}{dt}$。

檢查電場$𝐄$的方程式，右邊第一項稱為廣義庫侖場，又稱為速度場，因為這項目與加速度無關。當$v\ll c$，粒子速度超小於光速時，$𝐮\to c\hat{\Re }$，這項目會趨向庫侖方程式：

$𝐄=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\hat{\Re }}{{\Re }^2}$。

右邊第二項稱為輻射場，又稱為加速度場，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

參閱

• 電磁波方程式
• 非齊次的電磁波方程式
• 傑斐緬柯方程式
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-勞侖茲力
• 電磁場的數學表述