推遲勢

Template:向量字體檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「$$」；源變數的標記的後面有單撇號「$$」。 Template:NoteTA 在電磁學裏，推遲勢指的是，響應含時電荷分佈或含時電流分佈，而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以光速從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

理論概念

給予在源位置${𝐫}^{\prime }$的含時電荷分佈或含時電流分佈，計算在場位置$𝐫$產生的推遲勢。

對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢$\mathrm{\Phi }(𝐫)$和磁向量勢$𝐀(𝐫)$分別定義為

$\mathrm{\Phi }(𝐫)\stackrel{def}{=}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$、

$𝐀(𝐫)\stackrel{def}{=}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$；

其中，$𝐫$是場位置，${𝐫}^{\prime }$是源位置，${ϵ}_0$是真空電容率，${\mu }_0$是真空磁導率，$\rho$是電荷密度，$𝐉$是電流密度，${𝕍}^{\prime }$是體積分的空間，$d^3{𝐫}^{\prime }$是微小體元素。

在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間$t_r$為檢驗時間$t$減去電磁波傳播的時間：

$t_r\stackrel{def}{=}t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$；

其中，$c$是光速。

假設，從源位置${𝐫}^{\prime }$往場位置$𝐫$發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間$t$抵達觀測者的場位置$𝐫$，則這束電磁波發射的時間是推遲時間$t_r$。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間$t$，會不同於這電磁波發射的推遲時間$t_r$。

推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$與推遲向量勢$𝐀(𝐫,t)$分別用方程式定義為

$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)\stackrel{def}{=}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$、

$𝐀(𝐫,t)\stackrel{def}{=}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$。

請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間$t_r$有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間$t$的推遲勢必定是由在推遲時間$t_r$的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

非齊次的電磁波方程式

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守达朗贝尔方程，表達為Template:Rp

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫,t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }(𝐫,t)}{\partial t^2}=-\frac{\rho (𝐫,t)}{{ϵ}_0}$、

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀(𝐫,t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀(𝐫,t)}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐉(𝐫,t)$。

假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$和推遲向量勢$𝐀(𝐫,t)$不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定$\Re$為從源位置到場位置的分離向量：

$\Re =𝐫-{𝐫}^{\prime }$。

場位置$𝐫$、源位置${𝐫}^{\prime }$和時間$t$都是自變數（Template:Lang）。分離向量$\Re$和其大小$\Re$都是應變數（Template:Lang），跟場位置$𝐫$、源位置${𝐫}^{\prime }$有關。推遲時間$t_r=t-\Re /c$也是應變數，跟時間$t$、分離距離$\Re$有關。

推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$的梯度是

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\mathrm{\nabla }\left(\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\Re }\right)d^3{𝐫}^{\prime }=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }[\frac{\mathrm{\nabla }\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\Re }+\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{\Re }\right)]d^3{𝐫}^{\prime }$。

源電荷密度$\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)$的全微分是

$\begin{array}{cc}d\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)& ={\mathrm{\nabla }}^{\prime }\rho \cdot d{𝐫}^{\prime }+\frac{\partial \rho }{\partial t_r}d{t}_r\\ & ={\mathrm{\nabla }}^{\prime }\rho \cdot d{𝐫}^{\prime }+\frac{\partial \rho }{\partial t_r}(\frac{\partial t_r}{\partial t}dt+\frac{\partial t_r}{\partial \Re }d\Re )\\ & ={\mathrm{\nabla }}^{\prime }\rho \cdot d{𝐫}^{\prime }+\frac{\partial \rho }{\partial t_r}(dt-\frac{1}{c}d\Re )\\ & ={\mathrm{\nabla }}^{\prime }\rho \cdot d{𝐫}^{\prime }+\frac{\partial \rho }{\partial t_r}[dt-\frac{1}{c}(\mathrm{\nabla }\Re \cdot d𝐫)+{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\Re \cdot d{𝐫}^{\prime })]\\ \end{array}$ 。

注意到

$\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t_r}$、

$\mathrm{\nabla }\Re =\hat{\Re }$。

所以，源電荷密度$\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)$的梯度是

$\mathrm{\nabla }\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)=-\frac{1}{c}\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t_r}\mathrm{\nabla }\Re =-\frac{1}{c}\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t}\hat{\Re }=-\frac{\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c}\hat{\Re }$；

其中，$\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)$定義為$\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t)}{\partial t_r}$。

將這公式代入，推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$的梯度是

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }[-\frac{\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c}\frac{\hat{\Re }}{\Re }-\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)\left(\frac{\hat{\Re }}{{\Re }^2}\right)]d^3{𝐫}^{\prime }$。

推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$的拉普拉斯算符是

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫,t)& =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }[-\frac{\mathrm{\nabla }\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c}\cdot \frac{\hat{\Re }}{\Re }-\frac{\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c}\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\hat{\Re }}{\Re }\right)-[\mathrm{\nabla }\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)]\cdot \left(\frac{\hat{\Re }}{{\Re }^2}\right)-\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\hat{\Re }}{{\Re }^2}\right)]d^3𝐫\\ & =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }[-\frac{\ddot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c^2\Re }-\frac{\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c{\Re }^2}+\frac{\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c{\Re }^2}-4\pi \rho ({𝐫}^{\prime },t_r){\delta }^3(\Re )]d^3{𝐫}^{\prime }\\ & =-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\left[\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\Re }{d}^3{𝐫}^{\prime }\right]-\frac{\rho (𝐫,t)}{{ϵ}_0}\\ \end{array}$ ；

其中，${\delta }^3(\Re )$是三維狄拉克δ函數。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫,t)+\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }(𝐫,t)}{\partial t^2}=-\frac{\rho (𝐫,t)}{{ϵ}_0}$。

類似地，可以證明推遲向量勢$𝐀(𝐫,t)$滿足非齊次的電磁波方程式。

勞侖次規範條件

給予磁場$𝐁$，並不是只有一個向量場$𝐀$滿足條件$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\lambda )=0$，給予任意函數$\lambda$，那麼，$𝔸=𝐀+\mathrm{\nabla }\lambda$也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=0$。

按照前述方法，可以證明推遲純量勢$\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$和推遲向量勢$𝐀(𝐫,t)$滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

廣義的含時電磁場

Template:Main 推遲勢與電場$𝐄$、磁場$𝐁$的關係分別為

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$、

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$。

按照前述方法，可以得到電場$𝐄$和磁場$𝐁$的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式：

$𝐄(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }[\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}+\frac{\dot{\rho }({𝐫}^{\prime },t_r)}{c}\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^2}-\frac{\dot{𝐉}({𝐫}^{\prime },t_r)}{c^2|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}]d^3{𝐫}^{\prime }$、

$𝐁(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }[\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}+\frac{\dot{𝐉}({𝐫}^{\prime },t_r)}{c|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^2}]\times (𝐫-{𝐫}^{\prime })d^3{𝐫}^{\prime }$。

超前勢

定義超前時間$t_a$為現在時間$t$加上光波傳播的時間：

$t_a\stackrel{def}{=}t+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$。

超前純量勢${\mathrm{\Phi }}_a(𝐫,t)$與超前向量勢 ${𝐀}_a(𝐫,t)$分別用方程式表達為

${\mathrm{\Phi }}_a(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_a)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$、

${𝐀}_a(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_a)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{𝐫}^{\prime }$。

這兩個方程式表明，在時間$t$的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間$t_a$的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢${\mathrm{\Phi }}_a(𝐫,t)$與超前向量勢${𝐀}_a(𝐫,t)$也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

參閱

• 非齊次的電磁波方程式
• 傑斐緬柯方程式
• 黎納-維謝勢
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-勞侖茲力
• 狹義相對論