高斯磁定律

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。

卡爾·高斯

在電磁學裏，高斯磁定律闡明，磁場（B場）的散度等於零。因此，磁場是一個螺線向量場。從這事實，可以推斷磁單極子不存在。磁的基本實體是磁偶極子，而不是磁荷。當然，假若將來科學家發現有磁單極子存在，那麼，這定律就必須做適當的修改，如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者卡爾·高斯而命名。

在物理學界，很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律，但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」，或明確地表示這定律沒有取名字。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」，因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波。

理論方程式形式

閉曲面與開放曲面示意圖。左邊是閉曲面例子，包括球面、環面和立方體面；穿過這些曲面的磁通量等於零。右邊是開放曲面，包括圓盤面、正方形面和半球面；都具有邊界（以紅色顯示），不完全圍入三維體積。穿過這些曲面的磁通量不一定等於零。

高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據散度定理，這兩種形式為等價的。

高斯磁定律的微分形式為

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ ；

其中，$𝐁$ 是磁感應強度。

這是馬克士威方程組中的一個方程式。

高斯磁定律的積分形式為

$\text{∯}$$𝕊$$𝐁\cdot \mathrm{d}𝐬=0$

其中，$𝕊$ 是一個閉曲面，$\mathrm{d}𝐬$ 是微小面積分（請參閱曲面積分）。

這方程式的左手邊項目，稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。

磁向量勢

Template:Main 根據亥姆霍兹分解（Template:Lang），因為磁場的散度等於零，必定存在有向量場 $𝐀$ 滿足條件

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$ 。

這向量場 $𝐀$ 稱為磁向量勢。

請注意並不是只有一個向量場 $𝐀$ 滿足這條件。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )=0$ ，

給予任意函數 $\varphi$ ，那麼， $𝔸=𝐀+\mathrm{\nabla }\varphi$ 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

磁場線

透過鐵粉顯示出的磁場線。將條狀磁鐵放在白紙下面，鋪灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵粉會依著磁場線的方向排列，形成一條條的曲線，在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。

Template:Main 磁場，就像任何向量場，可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線，其方向對應於磁場的方向，其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零，磁場線沒有初始點，也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈，或者兩個端點都延伸至無窮遠。

磁單極子

Template:Main 假若，有科學家發現磁單極子存在於宇宙，則高斯磁定律不正確，必須修正。磁場的散度會與磁荷密度 ${\rho }_m$ 成正比：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁={\mu }_0{\rho }_m$ 。

其中，${\mu }_0$ 是磁常數。

必歐-沙伐定律

Template:Main 從必歐-沙伐定律，可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明，設定電流密度 $𝐉({𝐫}^{\prime })$ ，則磁場為

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{d}^3{r}^{\prime }𝐉({𝐫}^{\prime })\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}$ ；

其中，${𝐫}^{\prime }$ 是源位置，$𝐫$ 是場位置，${𝕍}^{\prime }$ 是積分的體積，$d^3{r}^{\prime }$ 是微小體積元素。

應用一項向量恆等式，

$\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}=-\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)$ ，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以移到積分外，改為旋度：

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }{d}^3{r}^{\prime }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$ 。

應用一項向量恆等式，

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$ 。

所以，高斯磁定律成立：

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ 。

參閱

• 磁矩
• 安培力定律
• 必歐-沙伐定律
• 電磁場的數學表述