霍普夫不变量

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（Template:Lang-en）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。

历史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Template:Link-en）构造了霍普夫映射 $\eta :S^3\to S^2$，并通过利用圆周 ${\eta }^{-1}(x),{\eta }^{-1}(y)\subset S^3$ 对任意 $x\ne y\in S^2$ 的环绕数（=1），证明了 $\eta$ 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 ${\pi }_3(S^2)$ 是由 $\eta$ 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（$n$ 奇）有理同伦群 ${\pi }_i(S^n)\otimes \mathbb{Q}$ 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（$n$ 偶），在 $2n-1$ 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

定义

设 $\varphi :S^{2n-1}\to S^n$ 是一个连续映射（假设 $n>1$）。则我们可以构造胞腔复形

$C_{\varphi }=S^n{\cup }_{\varphi }{D}^{2n},$

这里 $D^{2n}$ 是 $2n$-维圆盘通过 $\varphi$ 贴上一个 $S^n$。 胞腔链群 $C_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}^{*}(C_{\varphi })$ 在度数 $n$ 只是由 $n$-胞腔自由生成，故它们在度数 0、$n$ 与 $2n$是 $\mathbb{Z}$，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 $n>1$），上同调是

$H_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}^i(C_{\varphi })=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& i=0,n,2n,\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

记这些上同调群的生成元为

$H^n(C_{\varphi })=⟨\alpha ⟩$ 与 $H^{2n}(C_{\varphi })=⟨\beta ⟩.$

因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 $\alpha ⌣\alpha$ 一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是

$H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb{Z}[\alpha ,\beta ]/⟨\beta ⌣\beta =\alpha ⌣\beta =0,\alpha ⌣\alpha =h(\varphi )\beta ⟩.$

整数 $h(\varphi )$ 是映射 $\varphi$ 的霍普夫不变量。

性质

定理：$h:{\pi }_{2n-1}(S^n)\to \mathbb{Z}$ 是一个同态。进一步，如果 $n$ 是偶数，则 $h$ 映到 $2\mathbb{Z}$。

对霍普夫映射霍普夫不变量是 $1$（这里 $n=1,2,4,8$，分别对应于实可除代数 $𝔸=ℝ,ℂ,ℍ,𝕆$，而二重覆叠 $S({𝔸}^2)\to {\mathbb{P}𝔸}^1$ 将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（Template:Link-en）证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。

推广到稳定映射

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：

设 $V$ 表示一个向量空间而 $V^{\mathrm{\infty }}$ 是其单点紧化，即对某个 $k$ 有 $V\cong {ℝ}^k$ 而 $V^{\mathrm{\infty }}\cong S^k$。如果 $(X,x_0)$ 是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为 $V^{\mathrm{\infty }}$ 的基点，则我们可以构造楔积 $V^{\mathrm{\infty }}\wedge X$。

现在令 $F:V^{\mathrm{\infty }}\wedge X\to V^{\mathrm{\infty }}\wedge Y$ 是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。$F$ 的（稳定）几何霍普夫不变量是

$h(F)\in \{X,Y\wedge Y{\}}_{{\mathbb{Z}}_2}$，

是从 $X$ 到 $Y\wedge Y$ 映射的稳定 ${\mathbb{Z}}_2$-等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 $V$ 上（或 $k$，如果你愿意）的正向极限；而 ${\mathbb{Z}}_2$-作用是 $X$ 的平凡作用与交换 $Y\wedge Y$ 中两个因子。如果我们令 ${\mathrm{\Delta }}_X:X\to X\wedge X$ 表示典范对焦映射而 $I$ 是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：

$h(F):=(F\wedge F)(I\wedge {\mathrm{\Delta }}_X)-(I\wedge {\mathrm{\Delta }}_Y)(I\wedge F).$

这个映射原本是从 $V^{\mathrm{\infty }}\wedge V^{\mathrm{\infty }}\wedge X$ 到 $V^{\mathrm{\infty }}\wedge V^{\mathrm{\infty }}\wedge Y\wedge Y$ 的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 ${\mathbb{Z}}_2$-等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 $h_V(F)$，为此我们必须考虑向量空间 $V$。

参考文献

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