團 (圖論)

在图论领域的一个无向图中，满足两两之间有边连接的顶点的集合，被称为该无向图的团。团是图论中的基本概念之一，用在很多数学问题以及图的构造上。计算机科学中也有对它的研究，尽管在一个图中寻找给定大小的团达到了NP完全的难度，人们还是研究过很多寻找团的算法。

虽然对完全子图的研究可以追溯到Template:Harvtxt中拉姆齐理论对图理论的重组，“团”这一术语本身其实源自 Template:Harvtxt，那篇文章中社会网络的完全子图被用来模拟一“团”人，也就是一组两两相互认识的人。团在科学领域特别是在生物信息学中有许多其他应用。

定义

顶点集C被称为无向图 G=(V,E) 的团，如果C是顶点集V的子集(C⊆V)，而且任意两个C中的顶点都有边连接。另一种等价的说法是，由C诱导的子图是完全图 （有时也用“团”来指这样的子图）。

极大团是指增加任一顶点都不再符合团定义的团，也就是说，极大团不能被任何一个更大的团所包含。

最大团是一个图中顶点数最多的团。图G的团数（clique number）ω(G) 是指G中最大团的顶点数。图G的边团覆盖数（edge clique cover number）是指覆盖G中所有的边所需要的最少的团的数目。图G的Template:Link-en是指覆盖G中所有边所需要的最少的二分团的数目，其中二分团（biclique）就是完全二分子图 。而分团覆盖问题 （Clique cover problem）所关心的是用最少的团去覆盖G中所有的顶点。

独立集是刚好和团相反的概念，因为图G中的团和图G的补图中的独立集是一一对应的。

相关性质

• Template:Tsl的连通分量为团。
• Template:Tsl的Template:Tsl为团。
• 弦图的点具有完美消去序（perfect elimination ordering），这种排序具有如下性质：对于所有的点$v$，$N(v)$中排序在$v$后的点和$v$共同构成一个团。
• Template:Tsl的所有导出子图具有如下性质：任意极大团与任意Template:Tsl有且仅有一个共同点。
• Template:Tsl的极大团可以按照如下方式排序：对于任意点$v$包含$v$的团在排序中是连续的。
• 线图的边能被一些没有公共边的团所覆盖，并且每个点恰好属于两个团。
• Template:Tsl的所有导出子图的团数等于色数。
• Template:Tsl包含具有如下性质的团：对于图中每条边，至少包含一个顶点。
• Template:Tsl的团数至多为2。

相关定理

• 图兰定理给出了稠密图中团的大小的下界。如果一张图有足够多条边，那么它肯定包含一个大团。例如，对于任意$n$阶图，如果它的边数大于$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2}\rceil$，那么它必然包含一个$3$阶团。
• 拉姆齐定理指出，任意图或者它的补图包含这样的团，它具有至少为对数大小的点数。
• Moon & Moser 指出，阶数为$3n$的图至多有$3^n$个极大团。极大值在 Moon-Moser 图$K_{3,3,\dots }$取得，这是Template:Tsl的在图兰定理下的一种极端情况。
• Template:Tsl给出了最大团大小与色数之间的关系。
• Template:Tsl给出了图着色与团之间的关系。

分团问题

Template:Main 在计算复杂性理论中，分团问题（clique problem）在给定图中寻找最大团的问题。它是图论中的一个NP完全问题。人们在分团问题上提出了许多算法，指数时间复杂度算法包括Template:Tsl，而针对特定一类图有多项式时间复杂度算法，例如平面图和Template:Tsl。

参考文献

• Template:Citation.

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外部链接

• Template:MathWorld
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