電荷密度

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。

在電磁學裏，電荷密度是一種度量，用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依据討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是線電荷密度、面電荷密度或體電荷密度。

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為庫侖／公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺²。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺³。

由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 (Template:Lang) 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如，由於鋰陽離子的半徑比較小，它的體電荷密度大於鈉陽離子的體電荷密度。

古典電荷密度

假設，一個體積為 $V$ 的載電體，其電荷密度 ${\rho }_0$ 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 $Q$ 為

$Q={\rho }_{0}V$。

假設，在某一區域內有 $N$ 個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為

$\rho (𝐫)=\sum _{i=1}^N{q}_i\delta (𝐫-{𝐫}_i)$ ；

其中， $𝐫$ 是檢驗位置，$q_i$ 是位置為 ${𝐫}_i$ 的第 $i$ 個點電荷的電量。

量子電荷密度

氫原子的電子機率密度繪圖。橫排顯示不同的角量子數 (l) ,豎排顯示不同的能級 (n) 。這也是氫原子的負電荷密度圖。氫原子的質子的中心有一個正電性的質子。

在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數 $\psi (𝐫)$ 表達為

$\rho (𝐫)=q\cdot |\psi (𝐫){|}^2$ ；

其中，$q$ 是電子的電荷量。

注意到 $|\psi (𝐫){|}^2$ 是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是

$\underset{allspace}{\int }|\psi (𝐫){|}^2{\mathrm{d}}^{3}r=1$ ；

例如，氫原子的波函數 ${\psi }_{nlm}(𝐫)$ 是

${\psi }_{nlm}(𝐫)=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$ ；

其中，$R_{nl}$ 是徑向函數，$Y_l^m(\theta ,\varphi )$ 是球諧函數，$n$ 是主量子數，$l$ 是角量子數，$m$ 是磁量子數。

相對論性電荷密度

從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（Template:Lang）在他的著作中表明，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（Template:Lang）。

電荷守恆的連續方程式

電荷密度與電流密度之間的關係式為：

$\frac{\partial \rho (𝐫,t)}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉(𝐫,t)=0$ ；

其中，$𝐫$ 是位置，$t$ 是時間，$𝐉$ 是電流密度。

在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律，

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ ；

其中，$𝐁$ 是磁場，$𝐄$ 是電場，${\mu }_0$ 是磁常數，${ϵ}_0$ 是電常數。

取散度於方程式的兩邊：

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)={\mu }_0\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)$ 。

由於旋度的散度等於零，再根據高斯定律，可以得到想要的關係式

$0=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+\frac{\partial \rho }{\partial t}$ 。

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 $𝕍$ 的淨電流為

$I=-{\oint }_{𝕊}𝐉\cdot {\mathrm{d}}^2𝐫$ ；

其中，$I$ 是電流，$𝕊$ 是包圍體積 $𝕍$ 的閉曲面，$\mathrm{d}{𝐫}^2$ 是微小面向量元素，垂直於 $𝕊$ 從體積內朝外指出。

應用散度定理，將這方程式寫為

$I=-\underset{𝕍}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉{\mathrm{d}}^{3}r$ 。

總電荷量 $Q$ 與體積 $𝕍$ 內的電荷密度 $\rho$ 的關係為

$Q=\underset{𝕍}{\int }\rho {\mathrm{d}}^{3}r$ 。

電荷守恆要求，流入體積 $𝕍$ 的淨電流，等於體積 $𝕍$ 內總電荷量 $Q$ 的變率：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=I=\underset{𝕍}{\int }\frac{\partial \rho }{\partial t}{\mathrm{d}}^{3}r$ 。

所以，

$\underset{𝕍}{\int }\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉{\mathrm{d}}^{3}r=0$ 。

對於任意體積 $𝕍$ ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$ 。

電勢和電場

在一個體積區域 ${𝕍}^{\prime }$ 內，源位置 ${𝐫}^{\prime }$ 的電荷密度為 $\rho ({𝐫}^{\prime })$ 的電荷分佈，所產生在場位置 $𝐫$ 的電勢為

$\varphi (𝐫)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$ ；

其中，${\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$ 是微小體積元素。

電場 $𝐄$ 是電勢的負梯度：

$𝐄(𝐫)=-\mathrm{\nabla }\varphi (𝐫)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\rho ({𝐫}^{\prime })\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$ 。

應用向量關係式

$\mathrm{\nabla }\cdot \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}=4\pi \delta (𝐫-{𝐫}^{\prime })$ ，

取散度於電場，

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄(𝐫)=-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi (𝐫)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\underset{{𝕍}^{\prime }}{\int }\rho ({𝐫}^{\prime })4\pi \delta (𝐫-{𝐫}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$ ，

可以得到高斯定律的微分形式

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄(𝐫)=\frac{\rho (𝐫)}{{ϵ}_0}$ ，

和帕松方程式

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi (𝐫)=-\frac{\rho (𝐫)}{{ϵ}_0}$ 。

參閱

• 拉普拉斯方程式
• 恩绍定理
• 格林互反定理 (Template:Lang)