内乘

在数学中，内乘（Template:Lang-en，或译内积）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场，那么

${\iota }_X:{\mathrm{\Omega }}^p(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{p-1}(M)$

是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 i_Xω，由性质

$({\iota }_X\omega )(X_1,\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{p-1})$

所定义，对任何向量场 X₁,..., X_p−1。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与外代数上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（Template:Lang 或 Template:Lang），或内导数（Template:Lang 或 Template:Lang）。

一些作者使用字母 $i$ 代替 $\iota$；内乘有时也写成 $\iota (X)$ 或者 $X⌟\omega ={\iota }_X\omega$。

性质

由反对称性

${\iota }_X{\iota }_Y\omega =-{\iota }_Y{\iota }_X\omega$

所以 ${\iota }_X^2=0$。

因为李导数与缩并可以交换，故：

${ℒ}_X({\iota }_Y\omega )={\iota }_{[X,Y]}\omega +{\iota }_Y({ℒ}_X\omega ),$

这便得出两个向量李括号的内乘公式：

${\iota }_{[X,Y]}\omega ={ℒ}_X({\iota }_Y\omega )-{\iota }_Y({ℒ}_X\omega ).$

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出：

${ℒ}_X\omega =\mathrm{d}({\iota }_X\omega )+{\iota }_X\mathrm{d}\omega .$

这个等式在辛几何中非常重要：参见矩映射。

另见

• 张量缩并