米尔斯常数

Template:NoteTA 米尔斯常数是使对于所有正整数n，二重指数函数

$A^{3^n}$

的整数部分都是素数的最小正实数A。这个常数以W·H·米尔斯命名，他在1947年证明了这个常数的存在。

米尔斯常数的值是未知的，但如果黎曼猜想成立，它的值大约为：

$A\approx 1.30637788386308069046...$（A051021 Template:Wayback）。

米尔斯素数

由米尔斯常数所产生的素数称为米尔斯素数；如果黎曼猜想成立，这个数列的最初几项为：

2, 11, 1361, 2521008887…… Template:OEIS。

如果用a(i)来表示数列中的第i个素数，则a(i)可以计算为大于a(i −1)³的最小的素数。为了保证当n = 1，2，3，……时，A³ⁿ的整数部分是这个素数数列，必须有a(i) < (a(i −1) + 1)³。Hoheisel和Ingham的结果保证了在任何两个足够大的立方数之间一定有一个素数，这足以证明这个不等式，如果我们从一个足够大的素数a(1)开始。从黎曼猜想，可以推出任何两个连续的立方数之间一定有一个素数，这样就可以去掉足够大的条件，并允许米尔斯素数的数列从a(1) = 2开始。

目前已知最大的米尔斯素数（假设黎曼猜想成立）是：

$(((((((((2^3+3{)}^3+30{)}^3+6{)}^3+80{)}^3+12{)}^3+450{)}^3+894{)}^3+3636{)}^3+70756{)}^3+97220,$

它有20,562位。

计算

通过计算米尔斯素数，我们可以近似计算米尔斯常数为：

$A\approx a(n{)}^{1/3^n}.$

Template:Harvtxt用这个方法计算出米尔斯常数的差不多七千位数。目前还没有闭合公式可以计算米尔斯常数，甚至不知道它是不是有理数Template:Harv。

参见

• 素数公式

参考文献

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外部链接

• Template:MathWorld