海涅-康托尔定理

海涅-康托尔定理，以愛德華·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧緻度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数

f : M → N,

都是均勻连续的。

特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

证明 1

假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0$，使得对于所有M内的x和y，都有$d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\epsilon$

的否定是：

$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$，使得$\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x,y\in M$，使得$d(x,y)<\delta$，且$\rho (f(x),f(y))\ge {\epsilon }_0$。

其中d和$\rho$分别是度量空间M和N上的距离函数。

选择两个序列x_n和y_n，使得：

$d(x_n,y_n)<\frac{1}{n}$，且$\rho (f(x_n),f(y_n))\ge {\epsilon }_0$ (*)

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，序列x_n存在一个收敛的子序列$x_{n_k}$，而$d(x_{n_k},y_{n_k})<\frac{1}{n_k}\to 0$，故$x_{n_k}$和$y_{n_k}$收敛于相同的点。又因为f是连续的，所以$f(x_{n_k})$和$f(y_{n_k})$收敛于相同的点，与(*)式矛盾。

证明 2

设 f 是从一个紧度量空间 (M,d_M) 到一个度量空间 (N,d_N) 的连续函数，欲证明 f 是一致连续的。

设给定了 $\epsilon >0$, 于是对 $M$ 中的每一个点 $a$ 都存在一个与 $a$ 有关的 $\delta$, 使得

$d_N(f(x),f(a))<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }x\in B_M(a;\delta )\text{. }$

考虑由半径为 $\delta /2$ 的球 $B_M(a;\delta /2)$ 构成的集族, 这族球覆盖 $M$, 而且因为 $M$ 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 $M$, 比方说

$M=\bigcup _{k=1}^m{B}_M(a_k;\frac{r_k}{2})\text{(*)}$

在任何一个两倍半径的球 $B_M(a_k;r_k)$ 中, 我们有

$d_N(f(x),f\left(a_k\right))<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }x\in B_M(a_k;r_k)\text{. }$

设 $\delta =\min (r_1/2,\cdots ,r_m/2)$, 欲证明这个 $\delta$ 满足一致连续性定义中的要求.

对 $M$ 中的两个点 $x$ 和 $y$ 满足条件 $d_M(x,y)<\delta$, 由 $\text{(*)}$, 有某个球 $B_M(a_k;r_k/2)$ 包含 $x$, 所以

$d_N(f(x),f\left(a_k\right))<\frac{\epsilon }{2}.$

由三角不等式可得

$d_M(y,a_k)⩽d_M(y,x)+d_M(x,a_k)<\delta +\frac{r_k}{2}⩽\frac{r_k}{2}+\frac{r_k}{2}=r_k.$

因而, $y\in B_M(a_k;r_k)$, 所以也有 $d_N(f(y),f\left(a_k\right))<\epsilon /2$. 再次使用三角不等式就可以发现

$d_N(f(x),f(y))⩽d_N(f(x),f\left(a_k\right))+d_N(f\left(a_k\right),f(y))<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \text{.}$

外部链接

• Template:Planetmath reference
• Template:Planetmath reference