流 (数学)

在数学中，一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 $x (t)$ 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么 $x (t)$ 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。

向量流的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。

形式化定义

集合 $X$ 上的一个流是 $(ℝ, +)$ 在 $X$ 上的群作用。更准确地，流是一个函数 $φ : X \times ℝ \to X$ ，满足 $φ (x, 0) = x$ 且和单参数群保持一致：

φ (φ (x, t), s) = φ (x, s + t)

对所有 $s, t$ 属于 $ℝ$ 和 $x \in X$ 。

集合 $𝒪 (x, φ) = {φ (x, t) : t \in ℝ}$ 称为 $x$ 在 $φ$ 作用下的轨道。

当空间 $X$ 有额外的结构（比如 $X$ 是一个拓扑空间或 $X = ℝ^{n} .$ ）时，流经常要求连续甚至可微。

在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

x (t)

写成 $ϕ (x, t)$ ，这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上，在记号上，有严格的等价关系： $x (t) \equiv ϕ (x, t)$ 。类似地

x_{0} = x (0)

写成 $x = ϕ (x, 0)$ ，等等。

流最常见的例子是描述自治常微分方程的解，当方程的解存在且惟一时

y^{'} = f (y), y (0) = x

可作为初始条件 $x$ 的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 $ψ_{x} : ℝ \to X$ 对任何 $x \in X$ ，那么 $φ (x, t) = ψ_{x} (t)$ 定义了一个流。