西尔维斯特矩阵

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西尔维斯特矩阵，是与两个多项式相关的矩阵，从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。

定义

设p和q为两个多项式，次数分别为m和n。因此：

p (z) = p_{0} + p_{1} z + p_{2} z^{2} + \dots + p_{m} z^{m}, q (z) = q_{0} + q_{1} z + q_{2} z^{2} + \dots + q_{n} z^{n} .

于是，与p和q相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵 $(n + m) \times (n + m)$ ：

第一行为：

(\begin{matrix} p_{m} & p_{m - 1} & \dots & p_{1} & p_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
下面的(n-2)行也是用这种方法得出，每次都往右移一列。
第(n+1)行为：

(\begin{matrix} q_{n} & q_{n - 1} & \dots & q_{1} & q_{0} & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) .

余下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我们设m=4和n=3，则矩阵为：

S_{p, q} = (\begin{matrix} p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 & 0 \\ 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} & 0 \\ 0 & 0 & p_{4} & p_{3} & p_{2} & p_{1} & p_{0} \\ q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{3} & q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{matrix}) .

应用

西尔维斯特矩阵用于交换代数中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的行列式（称为两个多项式的结式）等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解

{S_{p, q}}^{T} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

其中 $x$ 是大小为 $n$ 的向量， $y$ 是大小为 $m$ 的向量，由满足下式的多项式对 $x, y$ （次数分别为 $n - 1$ 和 $m - 1$ ）的系数向量构成：

x \cdot p + y \cdot q = 1

这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解，其中 $\deg x < \deg q$ 且 $\deg y < \deg p$ 。

这样，西尔维斯特矩阵的秩决定了 $p$ 和 $q$ 的最大公因式的次数：

\deg (\gcd (p, q)) = m + n - r a n k S_{p, q}

参考文献

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检索自“https://zh.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=西尔维斯特矩阵&oldid=4901”

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