摆线

一条由滚动的圆所生成的摆线

在数学中，摆线（Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种，亦称圆滚线。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

历史

摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年Template:Link-en指出摆线一拱的區域面积是滾動圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。

方程式

由半径为2的圆所生成的摆线

过原点半径为r的摆线参数方程为

$x=r(t-\sin t)$

$y=r(1-\cos t)$

在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。

通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为

$x=r{\cos }^{-1}(1-\frac{y}{r})-\sqrt{y(2r-y)}$

也可寫成

$\cos \left(\frac{|x|+\sqrt{y(2r-y)}}{r}\right)+\frac{y}{r}=1$

摆线也满足下面的微分方程。

${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=\frac{2r-y}{y}.$

面积

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

$x=r(t-\sin t),$

$y=r(1-\cos t),$

$0\le t\le 2\pi .$

微分，

$\frac{dx}{dt}=r(1-\cos t),$

于是可以求得

$\begin{array}{cc}A& =\underset{x=0}{\overset{x=2\pi r}{\int }}ydx=\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}{r}^2(1-\cos t{)}^{2}dt\\ & ={r^2(\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{1}{2}\cos t\sin t)|}_{t=0}^{t=2\pi }\\ & =3\pi r^2.\end{array}$

弧长

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

$\begin{array}{cc}S& =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}\sqrt{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2}dt\\ & =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}2r\sin \left(\frac{t}{2}\right)dt\\ & =8r.\end{array}$

其它相关联的曲线

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短擺線（curtate cycloid）和長擺線（prolate cycloid），兩者合稱為次擺線（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

应用

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑Template:Link-en。 它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。

参考

• An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). -{R|http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507}- Template:Wayback

• Template:Cite book

外部链接

• Template:MathWorld
• Cycloids Template:Wayback at cut-the-knot
• A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves Template:Wayback, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library Template:Wayback.
• Cicloides y trocoides
• Cycloid Curves Template:Wayback by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.