克罗内克符号

数论中，克罗内克符号写作$\left(\frac{a}{n}\right)$或(a|n)，是雅克比符号对全体整数n的推广。首先被利奥波德·克罗内克提出。

定义

如果n是一个非零整数，具有质因子分解

$u\cdot {p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k},$

这里u是一个单位(例如, u为1或−1)，并且p_i是质数。a是一个整数。那么克罗内克符号(a|n)定义为

$\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{a}{u}\right)\prod _{i=1}^k{\left(\frac{a}{p_i}\right)}^{e_i}.$

对于奇素数p_i, (a|p_i) 与通常的勒让德符号相等。当p_i = 2。 定义(a|2)为

$\left(\frac{a}{2}\right)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }a\text{ is even,}\\ 1& \text{if }a\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8),\\ -1& \text{if }a\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8).\end{array}$

这使得它是雅克比符号的推广，(a|u)的值在u = 1时为1。在u = −1时，定义

$\left(\frac{a}{-1}\right)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{if }a<0,\\ 1& \text{if }a\ge 0.\end{array}$

最终我们加上：

$\left(\frac{a}{0}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }a=\pm 1,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

这些扩展足以将克罗内克符号覆盖所有的整数n。