积分因子

Template:微積分學 积分因子（Template:Lang-en）是一种用来解微分方程的方法。

方法

考虑以下形式的微分方程：

y^{'} + a (x) y = b (x) . . . . . . (1)

其中 $y = y (x)$ 是 $x$ 的未知函数， $a (x)$ 和 $b (x)$ 是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数 $M (x)$ 。我们把(1)的两边乘以 $M (x) :$

M (x) y^{'} + M (x) a (x) y = M (x) b (x) . . . . . . (2)

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

(M (x) y)^{'} = M (x) b (x) . . . . . . (3)

两边积分，得：

y (x) M (x) = \int b (x) M (x) d x + C,

其中 $C$ 是一个常数。于是，

y (x) = \frac{\int b (x) M (x) d x + C}{M (x)} .

为了求出函数 $M (x)$ ，我们把(3)的左面用乘法定则展开：

(M (x) y)^{'} = M^{'} (x) y + M (x) y^{'} = M (x) b (x) .

与(2)比较，可知 $M (x)$ 满足以下微分方程：

M^{'} (x) = a (x) M (x) . . . . . . (4)

两边除以 $M (x)$ ，得：

\frac{M^{'} (x)}{M (x)} - a (x) = 0 . . . . . . (5)

等式(5)是对数导数的形式。解这个方程，得：

M (x) = e^{\int a (x) d x} .

我们可以看到， $M^{'} (x) = a (x) M (x)$ 的性质在解微分方程中是十分重要的。 $M (x)$ 称为积分因子。

解微分方程

y^{'} - \frac{2 y}{x} = 0 .

我们可以看到， $a (x) = \frac{- 2}{x}$ ：

M (x) = e^{\int a (x) d x}

M (x) = e^{\int \frac{- 2}{x} d x} = e^{- 2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{- 2} = x^{- 2}

M (x) = \frac{1}{x^{2}} .

两边乘以 $M (x)$ ，得：

\frac{y^{'}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 0

(\frac{y}{x^{2}}) = 0

或

\frac{y}{x^{2}} = C

可得

y (x) = C x^{2} .

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = A y^{2 / 3}

可以看到， $\frac{d y}{d t}$ 是一个积分因子：

\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{d y}{d t} = A y^{2 / 3} \frac{d y}{d t} .

\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} {(\frac{d y}{d t})}^{2}) = \frac{d}{d t} (A \frac{3}{5} y^{5 / 3})

因此

{(\frac{d y}{d t})}^{2} = \frac{6 A}{5} y^{5 / 3} + C_{0}

利用分离变量法，可得：

\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5 / 3} + C_{0}}} = t + C_{1},

这就是方程的通解。

Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.