婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) & = {(a c - b d)}^{2} + {(a d + b c)}^{2} (1) \\ = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} . (2) \end{matrix}

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

(1^{2} + 4^{2}) (2^{2} + 7^{2}) = 3 0^{2} + 1^{2} = 2 6^{2} + 1 5^{2} .

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的 $b$ 换成 $- b$ 来得出。

这个等式在整数环和有理数环中都成立。更一般地，在任何的交换环中都成立。

它在数论中有很多应用，例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

證明

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) & = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} \\ = (a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} - 2 a b c d) + (a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + 2 a b c d) \\ = {(a c - b d)}^{2} + {(a d + b c)}^{2} \end{matrix}

而若將 $- 2 a b c d$ 與 $+ 2 a b c d$ 互換位置，即可得

{(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2}

如果 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是实数，那么这个等式与複數的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说：

| a + b i | | c + d i | = | (a + b i) (c + d i) |

由于

| a + b i | | c + d i | = | (a c - b d) + i (a d + b c) |,

两边平方，得

| a + b i |^{2} | c + d i |^{2} = | (a c - b d) + i (a d + b c) |^{2},

根据绝对值的定义，

(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} .

在 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是有理数的情况中，这个等式可以解释为域 $Q (i)$ 的范数是积性的。也就是说：

N (a + b i) = a^{2} + b^{2}

且

N (c + d i) = c^{2} + d^{2},

而且

N [(a + b i) (c + d i)] = N [(a c - b d) + i (a d + b c)] = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} .

所以，这个等式就是说

N [(a + b i) (c + d i)] = N (a + b i) \cdot N (c + d i) .