力矩

在一个旋转系统裏，作用力$𝐅$、位置向量$𝐫$、力矩$\mathit{\tau }$、动量$𝐩$、角动量$𝐋$，這些物理量之間的关系。

力矩（Template:Lang，moment）在物理学中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment，moment of rotation）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩$\mathit{\tau }$等於径向向量$𝐫$与作用力$𝐅$的叉積。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿$\cdot$米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺$\cdot$磅。力矩的表示符号是希腊字母$\mathit{\tau }$，或$𝐌$。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力$𝐅$、從轉軸到施力點的位移向量$𝐫$、兩個向量之間的夾角$\theta$。力矩$\mathit{\tau }$以向量方程式表示為

$\mathit{\tau }=𝐫\times 𝐅$。

力矩的大小為

$\tau =rF\sin \theta$。

定义

用右手定則决定力矩方向

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定，也可以用叉乘计算。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向。

假設作用力$𝐅$施加於位置為$𝐫$的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量$F_{\perp }$會產生力矩。這力矩$\mathit{\tau }=𝐫\times 𝐅$的大小為$\tau =|𝐫||{𝐅}_{\perp }|=|𝐫||𝐅|\sin \theta$，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力$𝐅$施加於位置為$𝐫$的粒子。選擇原點為參考點，力矩$\mathit{\tau }$以方程式定義為

$\mathit{\tau }\stackrel{def}{=}𝐫\times 𝐅$。

力矩大小為

$\tau =|𝐫||𝐅|\sin \theta$；

其中，$\theta$是兩個向量$𝐅$與$𝐫$之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

$\tau =r{F}_{\perp }$；

其中，$F_{\perp }$是作用力$𝐅$對於$𝐫$的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量$𝐫$和作用力$𝐅$。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

與角動量之間的關係

地心引力${𝐅}_{𝐠}$的力矩造成角动量$𝐋$的改变。因此，陀螺呈现进动現象。

假設一個粒子的位置為$𝐫$，動量為$𝐩$。選擇原點為參考點，此粒子的角動量$𝐋$為

$𝐋=𝐫\times 𝐩$。

粒子的角動量對於時間的導數為

$\begin{array}{cc}\frac{d𝐋}{dt}& =\frac{d𝐫}{dt}\times 𝐩+𝐫\times \frac{d𝐩}{dt}\\ & =𝐯\times m𝐯+𝐫\times m\frac{d𝐯}{dt}\\ & =𝐫\times m𝐚\\ \end{array}$ ；

其中，$m$是質量，$𝐯$是速度，$𝐚$是加速度。

應用牛頓第二定律，$𝐅=m𝐚$，可以得到

$\frac{d𝐋}{dt}=𝐫\times 𝐅$。

按照力矩的定義，$\mathit{\tau }\stackrel{def}{=}𝐫\times 𝐅$，所以，

$\mathit{\tau }=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}$。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量$𝐋$對於時間$t$的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩${\mathit{\tau }}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}$共同決定角動量的對於時間的變化：

${\mathit{\tau }}_1+\cdots +{\mathit{\tau }}_n={\mathit{\tau }}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}$。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

$𝐋=I\mathit{\omega }$；

其中，$I$是物體對於固定軸的轉動慣量，$\mathit{\omega }$是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

${\mathit{\tau }}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(I\mathit{\omega })}{\mathrm{d}t}=I\frac{\mathrm{d}\mathit{\omega }}{\mathrm{d}t}=I\mathit{\alpha }$；

其中，$\mathit{\alpha }$是物體的角加速度。

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿$\cdot$米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Template:Lang）规定这次序应是牛顿$\cdot$米，而不是米$\cdot$牛顿。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿$\cdot$米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿$\cdot$米的力矩，作用1 全转，需要恰巧$2\pi$焦耳的能量：

$E=\tau \theta$。

其中，$E$是能量，$\theta$是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺$\cdot$磅。

矩臂方程式

矩臂图

在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：

$\mathit{\tau }=(\text{moment arm})\cdot \text{force}$。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置$𝐫$、作用力$𝐅$（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

$\sum F_x=0$，

$\sum F_y=0$，

$\sum \tau =0$。

这里，$F_x,F_y$是作用力$𝐅$分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

$W=\underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}\tau \mathrm{d}\theta$；

其中，$W$是機械功，${\theta }_1$、${\theta }_2$分別是初始角和終結角，$\mathrm{d}\theta$是無窮小角位移元素。

根據功能定理，$W$也代表物體的旋轉動能$K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}$的改變，以方程式表達，

$K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率$P$以方程式表達為

$P=\mathit{\tau }\cdot \mathit{\omega }$。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Template:Lang)（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，

$(𝐫\times {𝐅}_1)+(𝐫\times {𝐅}_2)+\cdots =𝐫\times ({𝐅}_1+{𝐅}_2+\cdots )$。

延伸阅读

• Template:Cite book

參閱

• 馬力
• 扭力轉換器
• 刚体动力学
• 機械平衡（Template:Lang）
• 扭矩扳手（Template:Lang）
• 力矩密度

外部链接

• 模擬力矩平衡的Java小程式Template:Wayback
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion Template:Wayback on Project PHYSNETTemplate:Wayback.
• Torque Unit ConverterTemplate:Wayback