有限深方形阱

有限深方形阱。阱寬為$L$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為$V_0$。阱外位勢保持為$V_0$。

在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。

在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

一維阱定義

一維有限深方形阱的阱寬為$L$，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為$x=-L/2$與$x=L/2$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為$V_0$。阱外位勢保持為$V_0$。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數$\psi$也不同，標記為：Template:Rp

$\psi ={\psi }_1$：阱左邊，$x<-L/2$（阱外區域），

$\psi ={\psi }_2$：阱內，$-L/2<x<L/2$（阱內區域），

$\psi ={\psi }_3$：阱右邊，$x>L/2$（阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$；(1)

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，$m$是粒子質量，$x$是粒子位置，$V(x)$是位勢，$E$是能量。

阱內區域

在阱內，位勢$V(x)=0$，方程簡化為：

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}=E{\psi }_2$。(2)

設定波數$k$為

$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }$。(3)

代入方程(2)：

$\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}=-k^2{\psi }_2$。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數${\psi }_2(x)$是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

${\psi }_2=A\sin (kx)+B\cos (kx)$；

其中，$A$與$B$都是複值常數，由邊界條件而決定。

阱外區域

在阱外，位勢$V(x)=V_0>0$，薛丁格方程為：

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}=(E-V_0){\psi }_1$。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

束縛態

假若，粒子的能量小於位勢：$E<V_0$，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（Template:Lang）。設定

$\alpha =\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hslash }$。(4)

代入方程(1)：

$\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}={\alpha }^2{\psi }_1$。

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

${\psi }_1=F{e}^{-\alpha x}+G{e}^{\alpha x}$，

${\psi }_3=H{e}^{-\alpha x}+I{e}^{\alpha x}$；

其中，$F$，$G$，$H$，$I$都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數$A$，$B$，$F$，$G$，$H$，$I$的值。

束縛態的波函數

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數$\psi$的形式為：

${\psi }_1=F{e}^{-\alpha x}+G{e}^{\alpha x}$：阱左邊，$x<-L/2$（阱外區域），

${\psi }_2=A\sin (kx)+B\cos (kx)$：阱內，$-L/2<x<L/2$（阱內區域），

${\psi }_3=H{e}^{-\alpha x}+I{e}^{\alpha x}$：阱右邊，$x>L/2$（阱外區域）。

當$x$趨向負無窮，包含$F$的項目趨向無窮。類似地，當$x$趨向無窮，包含$I$的項目趨向無窮。可是，波函數在任何$x$都必須是有限值。因此，必須設定$F=I=0$。阱外區域的波函數變為

${\psi }_1(x)=G{e}^{\alpha x}$，

${\psi }_3(x)=H{e}^{-\alpha x}$。

在阱左邊，隨著$x$越小，波函數${\psi }_1(x)$呈指數遞減。而在阱右邊，隨著$x$越大，波函數${\psi }_3(x)$呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於$x=0$，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

奇的波函數

假若，波函數$\psi$是奇函數，則

${\psi }_2=A\sin (kx)$，

$G=-H$，

${\psi }_1(-x)=-{\psi }_3(x),x\ge 0$，

由於整個波函數$\psi$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\psi }_1(-L/2)={\psi }_2(-L/2)$

${\frac{d{\psi }_1}{dx}|}_{x=-L/2}={\frac{d{\psi }_2}{dx}|}_{x=-L/2}$

將波函數的公式代入：

$G{e}^{-\alpha L/2}=-A\sin (kL/2)$，(5)

$\alpha G{e}^{-\alpha L/2}=kA\cos (kL/2)$。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

$\alpha =-k\cot (kL/2)$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數$\alpha$與波數$k$的關係：

${\alpha }^2=\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2}-k^2$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

$k^2=\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2}{\sin }^2(kL/2)$。

這也造成了離散的能量。

偶的波函數

假若，波函數$\psi$是偶函數，則

${\psi }_2=A\cos (kx)$，

$G=H$，

${\psi }_1(-x)={\psi }_3(x),x\ge 0$，

由於整個波函數$\psi$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\psi }_1(-L/2)={\psi }_2(-L/2)$

${\frac{d{\psi }_1}{dx}|}_{x=-L/2}={\frac{d{\psi }_2}{dx}|}_{x=-L/2}$

將波函數的公式代入：

$G{e}^{-\alpha L/2}=A\cos (kL/2)$，(7)

$\alpha G{e}^{-\alpha L/2}=kA\sin (kL/2)$。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

$\alpha =k\tan (kL/2)$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數$\alpha$與波數$k$的關係：

${\alpha }^2=\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2}-k^2$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

$k^2=\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2}{\cos }^2(kL/2)$。

這也造成了離散的能量。

散射態

假若，一個粒子的能量大於位勢，$E>V_0$，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（Template:Lang）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，$E>V_0$，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於$V_0$的任意值。波數$\kappa$，用方程式表達為$\kappa =\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash }$，也不是離散量。代入方程(1)：

$\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}=-{\kappa }^2{\psi }_1$，

$\frac{d^2{\psi }_3}{d{x}^2}=-{\kappa }^2{\psi }_3$。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

${\psi }_1=C_1\sin (\kappa x)+D_1\cos (\kappa x)$，

${\psi }_3=C_3\sin (\kappa x)+D_3\cos (\kappa x)$。

其中，$C_1$、$D_1$、$C_3$、$D_3$，都是常數。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 量子穿隧效應
• 盒中氣體