同倫群

在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 $S^n$ 的情形，至今也沒有完整結果。

定義

設 $X$ 為拓撲空間而 $S^n$ 為 $n$ 維球面。選定基點 $a\in S^n,x\in X$。定義 ${\pi }_n(X,x)$ 為 $[S^n,X]$，也就是由保持基點的連續映射 $f:S^n\to X$ 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：$s_1\wedge \cdots \wedge s_n$ 表示 $(s_1,\dots ,s_n)\in [0,1{]}^n$ 在商映射 $[0,1{]}^n\to [0,1{]}^n/\partial ([0,1{]}^n)\simeq S^n$ 下的像。取 $S^n$ 的基點為 $a=0\wedge \cdots \wedge 0$。

注意到當 $n=0$ 時，$S^0=\{-1,1\}$ 而 ${\pi }_0(X,x)$ 的元素一一對應到 $X$ 的連通分支。

基本群的群運算

對於 $n\ge 1$，${\pi }_n(X,x)$ 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

$s:S^n\to S^n\vee S^n$

在此 $S^n\vee S^n$ 定義為將兩份 $S^n$ 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 $s$ 定義為

$s(x_1\wedge \cdots \wedge x_n)=\{\begin{array}{cc}{x}_1\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_n),& x_n\le \frac{1}{2}\\ x_1\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_n-1),& x_n\ge \frac{1}{2}\end{array}$

直觀來看，$s$ 的效應相當於將球面 $S^n$ 沿赤道掐扁。

給定 $f,g:I^n\to X$，我們定義 $f*g:=(f\bigsqcup g)\circ s$，由於 $f(a)=g(a)=x$，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 $f*g$ 僅依賴於 $f,g$ 的同倫類。

可以證明運算 $f,g\mapsto f*g$ 滿足群公理，其單位元素為常值映射 $\mathrm{\forall }s\in S^n,e(s)=x$。${\pi }_1(X,x)$ 不外就是基本群；而當 $n\ge 2$ 時，${\pi }_n(X,x)$ 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 $[S^n,X]$ 等同於 ${\pi }_n(X,x)$ 在 ${\pi }_1(X,x)$ 作用下的軌道集。可見若 ${\pi }_1(X,x)\ne 0$，$[S^n,X]$ 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列

設 $p:E\to B$ 為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 $F$。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：

$\cdots \to {\pi }_n(F)\to {\pi }_n(E)\to {\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)\to \cdots \to {\pi }_0(E)\to \pi (B)\to 1$

儘管這裡的 ${\pi }_0$ 只是個集合，而 ${\pi }_1$ 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（${\pi }_{n\ge 1}$ 的單位元、${\pi }_0$ 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群

給定 $A\subset X$，可以定義相對同倫群 ${\pi }_n(X,A)$ 為映射 $f:(D^n,S^{n-1})\to (X,x)$ 的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 $f(S^{n-1})=x$ 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 $A$ 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻

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