二面體群

雪花有正六邊形的二面體對稱。

Template:Groups 在數學中，二面體群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 邊形的對稱群，具有 $2n$ 個元素。某些書上則記為 $D_n$。除了 $n=2$ 的情形外，$D_{2n}$ 都是非交換群。

生成元與關係

抽象言之，首先考慮 $n$ 階循環群 $C_n$。反射 $\tau :x\mapsto x^{-1}$ 是 $C_n$ 上的自同構，而且 ${\tau }^2=\mathrm{i}\mathrm{d}$。定義二面體群為半直積

$D_{2n}=C_n⋊\{e,\tau \}$

任取 $C_n$ 的生成元 $\sigma$，$D_{2n}$ 由 $\sigma ,\tau$ 生成，其間的關係是

${\sigma }^n=e,{\tau }^2=e,\tau \sigma \tau ={\sigma }^{-1}$

$D_{2n}$ 的元素均可唯一地表成 ${\sigma }^k{\tau }^h$，其中 $0\le k<n$，$h=0,1$。

幾何詮釋

n=5 的情形：反射對稱

n=5 的情形：旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 $O(2)$ 中由

$\sigma :=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{n}& -\sin \frac{2\pi }{n}\\ \sin \frac{2\pi }{n}& \cos \frac{2\pi }{n}\end{array}\right)$ （旋轉 $\frac{2\pi }{n}$ 弧度）

$\tau :=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出 $D_{2n}$ 是正 n 邊形的對稱群。

性質

• $D_{2n}$ 的中心在 $n$ 為奇數時是 $\{e\}$，在 $n$ 為偶數時是 $\{e,{\sigma }^{n/2}\}$。
• 當 $n$ 為奇數時，$D_{4n}$ 同構於 $D_{2n}$ 與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

${\sigma }^{k+ϵn}{\tau }^h\mapsto ({\sigma }^k{\tau }^h,ϵ)$

其中 $h,ϵ=0,1$，$0\le k<n$。

• 當 $n$ 為奇數時，$D_{2n}$ 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 $n$ 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 $n$ 邊形的頂點。
• 若 $m|n$，則 $D_{2m}\le D_{2n}$，由此可導出 $D_{2n}$ 共有 $d(n)+\sigma (n)$ 個子群，其中的算術函數 $d(n)$ 與 $\sigma (n)$ 分別代表 $n$ 的正因數個數與正因數之和。

表示

當 $n$ 為奇數時，$D_n$ 有兩個一維不可約表示：

$\tau \mapsto (-1{)}^k,\sigma \mapsto 1(k=0,1)$

當 $n$ 為偶數時，$D_n$ 有四個一維不可約表示：

$\tau \mapsto (-1{)}^k,\sigma \mapsto (-1{)}^h(k,h=0,1)$

其餘不可約表示皆為二維，共有 $\lfloor n/2\rfloor$ 個，形如下式：

$\sigma \mapsto \left(\begin{array}{cc}{\omega }^h& 0\\ 0& {\omega }^{-h}\end{array}\right)\tau \mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$

其中 $\omega$ 是任一 n 次本原單位根，$h$ 過 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。由 $h_1,h_2$ 給出的表示相等價若且唯若 $h_1+h_2\equiv 0modn$。