原群

原群（Template:Lang-en）是抽象代數领域中一種基本代數結構。原群定义为一個集合和这个集合上满足封閉性的一个二元運算，即：对于集合$M$和$M$上的一个二元运算$\bullet$，若满足$M$中的任意两个元素经过$\bullet$作用，得到的结果仍在$M$中，则称它们构成一个原群，记作$(M,\bullet )$。

類型

Template:Group-like structures 通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括：

• 擬群－可除總是可能的非空原群；
• 環群－有單位元的擬群；
• 半群－運算為可結合的原群；
• -{zh-cn:幺半群; zh-tw:么半群;}-－有單位元的半群；
• 群－有逆元的-{zh-cn:幺半群; zh-tw:么半群;}-，或等價地說，可結合的環群；
• 阿貝爾群－運算為可交換的群。

從原群到群的各種路徑。

原群的態射

原群的態射是一個函數 $f:M\to N$ ，將原群 M 映射至原群 N 上，並保留其二元運算：

$f(x{*}_{M}y)=f(x){*}_{N}f(y)$

其中的 ${*}_M$ 和 ${*}_N$ 分別代表著在 M 和 N 上的二元運算。

自由原群

在一集合 X 上的自由原群 $M_X$ 是指由集合 X 產生出的「最一般可能的」自由原群（並沒有任何的關係或公理在產生子上；詳見自由對象）。自由原群可以用計算機科學中熟悉的詞彙來描述，如同其樹葉被 X 內的元素標示的二元樹的原群，其運算是將樹在樹根上連結。因此，自由原群在句法學中有著很基本的重要性。

自由原群有個泛性質，其內容為：若 $f:X\to N$ 是一個從集合 X 映射至任一原群 N 的函數，則會存在唯一一個 $f$ 至原群態射 $f^{\prime }$ 的擴張。其中，

$f^{\prime }:M_X\to N$

另見

• 自由半群
• 自由群
• 自由李群

參考文獻

• Template:Springer
• Template:Springer
• Template:Mathworld