多解析度分析

Template:NoteTA 多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）或是多尺度近似（multiscale approximation, MSA）是最常用來分析離散小波变换〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年及1998年由Stephane Mallat 著作的論文提到。

定義

L^p空間$L^2(ℝ)$的多解析度分析由一系列嵌套子空間組成

$\{0\}\dots \subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^2(ℝ)$

• 取樣定理

  取樣定理主要是在重建一個時間長度$T$中被取樣過的信號：若信號是有限頻寬，只要奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）比$1/T$小及可完整重建信號；否則得到的重建信號為近似的信號。因此可以說，愈小的$T$使得信號的重建愈容易，$T$的大小將決定信號解析度，同時，取樣頻率也受到$T$的限制。

• 概念

  倘若一個信號具有變化速度差異大的區段，像是信號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段，則上述單一解析度將不適用於分析信號。因此，多重解析度分析的概念因此而生。將信號在不同解析度上分析。

• 定義

  令$V_j(j=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )$為在函數空間$L^2(R)$裡的子空間的數列，假如

  1. 分簇性(nested)：$\dots \subset V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_n\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^2(ℝ)$
  2. 稠密性(density)：$\mathrm{Closure}\left(\bigcup _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{V}_i\right)=\overline{\dots \cup V_{-1}\cup V_0\cup V_1\cup \dots }=L^2(R)$
  3. 分離性(seperation)：$\bigcap _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{V}_i=\dots \cap V_{-1}\cap V_0\cap V_1\cap \dots =\left\{0\right\}$
  4. 調節性(scaling)：$f(2^{-j}x)\in V_0\leftrightarrow f(x)\in V_j$
  5. 正規正交基底(orthonormal basis)：$\varphi \in V_0$且集合$\{\varphi (x-k),k\in Z\}$為$V_0$的一正規正交基底。

  則$\{V_j,j\in Z\}$為帶有調整函數$\varphi$的多解析度分析。

• 應用

  在高頻的時候，使用較細緻的時間解析度及較粗糙的頻率解析度。

  在低頻的時候，使用較細緻的頻率解析度及較粗糙得時間解析度。

  相當適合使用在長時間都是低頻成份，只有在短時間內會有高頻成份的信號

参考文献

• Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"