平分線

角平分线（英语：Angle Bisector）是几何学中的一个基本概念。它指的是从角的顶点出发，将角分成两个相等角的线段或射线。角平分线在几何问题中起着重要作用，无论是在理论证明中，还是在实际应用中，都能帮助我们理解和解决各种几何问题。

角平分线的定义

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质

1.角平分线把角分成两个一样角度的小角，都等于该角的一半

该性质的应用

$\because OM\text{ 平分 }\mathrm{\angle }AOB$

$\therefore \mathrm{\angle }AOM=\mathrm{\angle }MOB$

2..角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

即如图所示：

$OM$平分$\mathrm{\angle }AOB,P$为$OM$上一点$,PE\perp OA$于$E,PF\perp OB$于$F,$

则$PE=PF$。

该性质的证明

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

$\because OM$平分$\mathrm{\angle }AOB,$

$\therefore \mathrm{\angle }POE=\mathrm{\angle }POF.$

$\because PE\perp OA,PF\perp OB,$

$\therefore \mathrm{\angle }OEP=\mathrm{\angle }OFP=90^{\circ }.$

在$\mathrm{△}OEP$与$\mathrm{△}OFP$中$,$

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\angle }OEP=\mathrm{\angle }OFP,\\ \mathrm{\angle }POE=\mathrm{\angle }POF,\\ OP=OP,\end{array}$

$\therefore \mathrm{△}OEP\cong \mathrm{△}OFP(\text{AAS}).$

$\therefore PE=PF.$

证毕。

角平分线的判定

判定

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一點至角两边距离相等，則該點在該角的角平分线上。

即：

已知$\mathrm{\angle }AOB,P$为$OM$上一点$,PE\perp OA,PF\perp OB.$

如果$PE=PF,$那么$OM$平分$\mathrm{\angle }AOB.$

证明

$\because PE\perp OA,PF\perp OB,$

$\therefore \mathrm{\angle }OEP=\mathrm{\angle }OFP=90^{\circ }.$

在$\mathrm{R}\mathrm{t}\mathrm{△}OEP$与$\mathrm{R}\mathrm{t}\mathrm{△}OFP$中$,$

$\{\begin{array}{c}OP=OP,\\ PE=PF,\end{array}$

$\therefore \mathrm{R}\mathrm{t}\mathrm{△}OEP\cong \mathrm{R}\mathrm{t}\mathrm{△}OFP(\mathrm{H}\mathrm{L}).$

$\therefore \mathrm{\angle }POE=\mathrm{\angle }POF,$

$\therefore OM$平分$\mathrm{\angle }AOB.$

证毕。

內心

任意三角形ABC中，$\mathrm{\angle }ABC$、$\mathrm{\angle }BCA$、$\mathrm{\angle }CAB$ 角平分線交於一點I，則我們稱此點I為三角形ABC的內心。

三角形的內心恆在圖形內部，且到三角形之三邊距離等長。

參見

• 角平分線長公式
• 垂直平分線
• 中线
• 高线