群環

在抽象代數中，群環是從一個群 $G$ 及交換環 $R$ 構造出的環，通常記為 $R [G]$ 或 $R G$ 。其定義為：

R [G] : = ⨁_{g \in G} R e_{g}

（換言之，這是由基底

{e_{g} : g \in G}

張出的自由

R

-模）

其上的 $R$ -線性乘法運算由 $e_{g} \cdot e_{h} = e_{g h}$ 給出。 $R [G]$ 對 $R$ -模的加法與上述乘法形成一個 $R$ -代數。乘法單位元素為 $1 : = e_{e}$ 。

最常用的是 $R = ℤ$ 或 $R = ℂ$ 的群環。對於後者， $ℂ [G]$ 成為 $G$ 的表示： $s \sum a_{g} e_{g} = \sum a_{g} e_{s g}$ ；若 $G$ 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 $G$ ，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 $C_{c} (G)$ 或 $L^{1} (G)$ 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

定義

令 $G = C_{3}$ ，即階為 $3$ 的循環群，其中 $a$ 為群的一個生成元， $1_{G}$ 為其單位元。群環 $ℂ [G]$ 中的元素 $r$ 可以表示成

z_{0} 1_{G} + z_{1} a + z_{2} a^{2}

其中 $z_{0}$ ， $z_{1}$ 以及 $z_{2}$ 皆為 $ℂ$ 中的元素，即複數。

對群環中其他的元素 $s = w_{0} 1_{G} + w_{1} a + w_{2} a^{2}$ ，我們可以定義群環的加法

r + s = (z_{0} + w_{0}) 1_{G} + (z_{1} + w_{1}) a + (z_{2} + w_{2}) a^{2}

以及乘法

r s = (z_{0} w_{0} + z_{1} w_{2} + z_{2} w_{1}) 1_{G} + (z_{0} w_{1} + z_{1} w_{0} + z_{2} w_{2}) a + (z_{0} w_{2} + z_{1} w_{1} + z_{2} w_{0}) a^{2}

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C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)