萊布尼茨函數

在仿射幾何和歐氏幾何中，萊布尼茨向量和標量函數是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和重心關係密切；用重心可以給出函數的簡潔形式。

萊布尼茨向量函數

考慮仿射空間 $E$ 和相伴的向量空間 $V$ 。設 $(A_{i})_{i = 1 \dots n}$ 是 $n$ 點的族， $(a_{i})_{i = 1 \dots n}$ 是 $n$ 數量的族。與系統 ${{(A_{i}, a_{i})}_{i = 1 \dots n}}$ 相伴的萊布尼茨向量函數是從 $E$ 到 $V$ 的映射，把點 $M$ 對應到向量 $\vec{f} (M) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \vec{M A_{i}}$ 。

設係數和 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 為零，那麼函數是常值。如果有一個係數非零（例如 $a_{1}$ ），這常值等於 $a_{1} \vec{G_{1} A_{1}}$ ，其中 $G_{1}$ 是系統 ${{(A_{i}, a_{i})}_{i = 2 \dots n}}$ 的重心。

設係數和非零，函數可化簡成

\vec{f} (M) = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) \vec{M G}

這個性質使得多個向量的線性組合可以藉由重心化簡成一個向量。如果向量空間是有限維，由此可以給出重心的座標。

其實 $\vec{O G} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}} \vec{f} (O) = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \vec{O A_{i}}$ 。

把上式轉為座標就是

x_{G, k} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{A_{i}, k}

萊布尼茨標量函數

考慮歐幾里得仿射空間 $E$ 和相伴的域 $𝕂$ 。設 $(A_{i})_{i = 1 \dots n}$ 是 $n$ 點的族， $(a_{i})_{i = 1 \dots n}$ 是 $n$ 數量的族。與系統 ${{(A_{i}, a_{i})}_{i = 1 \dots n}}$ 相伴的萊布尼茨標量函數，是從 $E$ 到 $𝕂$ 的映射，把點M對應到數量 $f (M) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} M A_{i}^{2}$ 。

設係數和 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 為零，那麼函數可化簡成

f (M) = f (O) + 2 \vec{M O} \cdot \vec{u}

其中 $\vec{u}$ 等於與這系統相伴的萊布尼茨向量函數的常值， $O$ 是任意固定點。

設係數和非零，那麼函數可化簡成

f (M) = f (G) + (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) M G^{2}

其中 $G$ 是系統 ${{(A_{i}, a_{i})}_{i = 1 \dots n}}$ 的重心。

這個化簡令點的位置問題可以很容易解決（見萊布尼茨定理）。

例：在2維情形，集 $M$ 適合 $f (M) = k$ 的是

當係數和為零
- 與 $\vec{u}$ 垂直的直線，如果 $\vec{u}$ 非零
- 整個平面或空集（取決於 $k$ 的值），如果 $\vec{u}$ 為零
當係數和非零
- 圓心為 $G$ 的圓，點 $G$ 或空集（取決於 $k$ 的值）

參見

萊布尼茨函數

萊布尼茨向量函數

萊布尼茨標量函數

參見

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